生成元 (數學)

提示：此條目的主題不是生成函數或線性生成空間。

在數學中，表達式生成元、生成、由……生成、生成集合（generator, generate, generated by与generating set）可有許多緊密相關的技術性含義：

• 代數的生成元：如果A是一個環，B是一個A-代數，則S生成B若且唯若B的包含S的子A-代數是B自己。
• 群的生成集合：群元素的一個集合除了整個群之外不能包含於任何子群中。參見群呈示。
• 一個環的生成集合：一個環A的子集S生成A若且唯若包含S的子環只有A自己。
• 環中一個理想的生成集合。
• 生成元 (範疇論)，範疇論的生成元概念。
• 子基，在拓撲學中生成某拓撲的集合。
• 拓撲代數的生成集合：S是一個拓撲代數A的生成集合如果包含S的A的最小閉子代數是A自己。
• 一個李群的李代數中元素有時稱為這個群的生成元，特別是物理學家。李代數至少通過局部指數可以想為生成群，但李代數在嚴格意義上不構成一個生成集合。
  • 由諾特定理蘊含的連續對稱的生成元，是前項的特例。在這種情形，一個生成元有時稱為荷或諾特荷，類似於電荷是電磁學U (1)對稱群的生成元。這樣，例如夸克的色荷是量子色動力學中SU (3) 色對稱的生成元。更確切地，「荷」只應用於一個李群的根系。
• 在隨機分析中，一個伊藤擴散或更一般的伊藤過程有一個無窮小生成元。
• 在泛函分析中，對於希爾伯特空間上的么正算子所構成的任一強連續單參數酉群，都有該空間上的一個唯一自伴算子以某種方式與之對應，稱為強連續單參數酉群的無窮小生成元。