矩陣對數

在數學中，矩陣的對數是找到另一矩陣，使其矩陣指數等於某個矩陣的運算。這是對數的推廣，也是矩陣指數的逆運算。不是所有的矩陣都有矩陣對數，矩陣也可能有多於一個矩陣對數。對數矩陣的研究源於李群，因為如果一個矩陣存在矩陣對數，那麼這個矩陣對數是李代數向量空間的對應元素。

定義

矩陣指數的定義如下

e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.

給定矩陣B ，若滿足 $e A = B$ 則稱矩陣A是矩陣B的矩陣對數 。因為對於複數而言指數不是一對一的（例如 $e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1$ ），一個數可以有多個複數對數，因此，一些矩陣可能有多個矩陣對數，如下所述。

如果矩陣 B 與單位矩陣足夠接近，那麼B的矩陣對數可以表示為如下的冪級數：

\mathrm {log} (B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(B-I)^{k}}{k}}}=(B-I)-{\frac {(B-I)^{2}}{2}}+{\frac {(B-I)^{3}}{3}}\cdots

如果 $\left\|{B-I}\right\|<1$ ，那麼該級數收斂且 $e^{\mathrm {log} (B)}=B$ 。^[1]

這裏給出一個簡單的平面旋轉矩陣的例子。繞原點逆時針旋轉α弧度的旋轉可表示為一個2×2矩陣

A={\begin{bmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{bmatrix}}

對於任何整數n ，矩陣

B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}

是A的矩陣對數。因此，矩陣A具有無窮多個矩陣對數。這意味着旋轉 $2\pi$ 的整數倍會回到初始位置。

在李群中，旋轉矩陣A是李群SO（2）的元素。對應的矩陣對數B是李代數的元素，因此（2）由所有反對稱矩陣組成。矩陣

{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\\\end{bmatrix}}

是李代數 SO(2)的生成元。

對於一個復矩陣，該矩陣存在矩陣對數若且唯若它是可逆的。 ^[2] 如果一個矩陣沒有負實特徵值，那麼它的矩陣對數不是唯一的，其中，在{z∈C | -π<Im z <π}中的對數稱為對數主值 。 ^[3]

對於一個實矩陣，該矩陣存在實矩陣對數若且唯若它是可逆的並且負特徵值對應的每個若爾當塊出現偶數次。 ^[4] 如果可逆實矩陣不滿足若爾當塊的條件，那麼它只有非實對數。在實數的情況下體現為：對數在-1處不是實的。

如果A和B都是正定矩陣，那麼

\operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}

如果A和B是可交換的，即AB = BA ，那麼

\log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}.\,

把B = A ^-1代入上式，得到

\log {(A^{-1})}=-\log {(A)}

Gantmacher, Felix R., The Theory of Matrices 1, New York: Chelsea: 239–241, 1959 。
Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666
Culver, Walter J., On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix, Proceedings of the American Mathematical Society, 1966, 17 (5): 1146–1151, ISSN 0002-9939, doi:10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6 。
Higham, Nicholas, Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, 2008, ISBN 978-0-89871-646-7 Higham, Nicholas, Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, 2008, ISBN 978-0-89871-646-7 。
Engø, Kenth, On the BCH-formula in so(3), BIT Numerical Mathematics, June 2001, 41 (3): 629–632 [2019-03-25], ISSN 0006-3835, doi:10.1023/A:1021979515229, （原始內容存檔於2016-03-03）