羅素悖論

英國哲學家羅素提出的悖論

羅素悖論(英語:Russell's paradox),是英國哲學家伯特蘭·羅素於1901年提出的悖論,是一個關於的內涵問題。

羅素悖論有一些更為通俗的描述,如理髮師悖論、書目悖論。但理髮師悖論被一些人認為只是羅素悖論的一種描述方式,僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

定義

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 ,那麼 

我們通常希望,任給一個性質(例如「年滿三十歲」就是一個性質),滿足該性質的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論。

設有一性質 ,並以一性質函數 表示,且其中的自變量 具有特性 。現假設由性質 能夠確定一個滿足性質 的集合 ——也就是說  。那麼, 是否成立?

首先,若 ,則  的元素,那麼 具有性質 ,由性質函數 可以得知 

其次,若 ,根據定義, 是由所有滿足性質 的類組成,也就是說, 具有性質 ,所以 

通俗詮釋

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理髮師悖論

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小城裏的理髮師放出豪言:他要為城裏人刮鬍子,而且一定只要為城裏所有「不為自己刮鬍子的人」刮鬍子。

但問題是:理髮師該為自己刮鬍子嗎?如果他為自己刮鬍子,那麼按照他的豪言「只為城裏所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他不應該為自己刮鬍子;但如果他不為自己刮鬍子,同樣按照他的豪言「一定要為城裏所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他又應該為自己刮鬍子。

集合論的語言來描述理髮師悖論是這樣的:小城裏的人構成集合 ,對於每個小城裏的人 可以構造一個 的子集 ,即 給屬於 的人刮鬍子。那麼,如果城裏人 給自己刮鬍子,則 ,如果 不給自己刮鬍子,則 ,如果 不給任何人刮鬍子,則  為空,即 。設理髮師為 ,則理髮師的豪言就是: 。問題是:如果 ,這將與 的定義矛盾,但如果 ,根據 的定義,又應該有 。理髮師悖論是個邏輯悖論。用集合論語言來描述並不是必需的,只是為了將來更容易說明它與羅素悖論不是一回事。

書目悖論

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書目悖論(英語:Catalogue Paradox)是另一種羅素悖論的通俗解釋。其內容為,假設有一圖書館編制了一部書目,有且僅有列出那些未列出自身的書目,那麼這部書目會列出自身嗎?[1]

解決方案

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當一個句子、想法或公式引用自身時,就會出現自指。直到現在,真正意義上的悖論,其問題幾乎都是自指或自相關而引起。[2] 儘管陳述可以是自指並且不自相矛盾(「This statement is written in English」是真實且非自相矛盾的帶有自指的陳述),但自指是悖論的一個常見要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》,任何命題不能包含自身,同理一個函數不能包含自身。

羅素悖論中,在邏輯上它們都有無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環。因此,羅素提出了惡性循環原則英語Vicious_circle_principle,禁止使用包含被定義對象本身的的集合來定義該對象。[2]邏輯系統中,如果要求任何命題不能違反惡性循環原則,則可以避免類似羅素悖論等自指性悖論。

參考資料

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  1. ^ Curry, H. B, Haskell B. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications. 1977: 5. ISBN 9780486634623. 
  2. ^ 2.0 2.1 Bolander, Thomas. Self-Reference (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition). [2020-12-28]. (原始內容存檔於2021-06-10). In 1985, Yablo succeeded in constructing a semantic paradox that does not involve self-reference in the strict sense. ... Instead, it consists of an infinite chain of sentences, each sentence expressing the untruth of all the subsequent ones.  

參見

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