耗散系統

耗散系統（英語：dissipative system）是指遠離熱力學平衡狀態的開放系統，此系統和外環境交換能量、物質和熵而繼續維持平衡，對這種結構的研究，解釋了自然界許多以前無法解釋的現象。

耗散結構一詞由比利時物理學家、化學家伊里亞·普里高津發明。普里高津創立了耗散結構理論，研究一個系統從混沌無序向有序轉化的機理、條件和規律的科學，他為此曾獲1977年諾貝爾化學獎。

常見的耗散結構包括對流、氣旋、熱帶氣旋及生物體。像鐳射、瑞利–貝納爾對流及B-Z反應也是耗散結構的例子。

簡介

耗散結構的特點是自發對稱性破缺（各向異性）以及複雜，甚至混沌的結構。普里高津考慮的耗散結構有其動態的機制，因此可以視為熱力學上的穩態，有時也可以用適當的非平衡熱力學中的極值定理（英語：extremal principles in non-equilibrium thermodynamics）來描述。

以前的物理理論認為，只有能量最低時，系統最穩定，否則系統將消耗能量，產生熵，而使系統不穩定。耗散結構理論認為在高能量的情況下，開放系統也可以維持穩定。例如生物體，以前按照熱力學定律，是一種極不穩定的結構，不斷地產生熵而應自行解體，但實際是反而能不斷自我完善。其實生物體是一種開放結構，不斷從環境中吸收能量和物質，而向環境放出熵，因而能以破壞環境的方式保持自身系統的穩定。城市也是一種耗散結構。

牛頓的萬有引力描述的是無始無終按規律運行的美好世界，而熱力學第二定律描述的是一切終將走向滅亡的熱寂，相較之下，耗散結構描述在遠離平衡態的開放系統中「生」的機制，但其先決假定條件是存在提供能量、物質，並且可以交換熵的外環境。

熱力學描述

一開放系統的熵變化可以表示如下：

\,dS=dS_{i}+dS_{e}

熵變化可以分解為系統內（ $\,dS_{i}$ ）及系統外的（ $\,dS_{e}$ ，和環境交換的熵）。

在封閉系統中系統無法和環境交換熵，因此（ $dS=dS_{i}$ ），根據熱力學第二定律 $dS_{i}\geq 0$ （等號成立時表示平衡），因此 $dS\geq 0$ 。

不過在開放系統中，系統可以和環境交換熵，因此可以形成一個穩態的結構，假設總熵不變 $dS=0$ ，根據熱力學第二定律 $dS_{i}\geq 0$ ，因此可得

\,dS_{e}=-dS_{i}<0

（負熵流）^[1]

控制理論中的耗散系統

在系統及控制理論中，耗散系統是滿足「耗散不等式」的動力系統，假設其狀態、輸入及輸出分別為 $x(t)$ 、 $u(t)$ 及 $y(t)$ 。

假設一個函數 $w=u\cdot y$ ，其針對任何輸入 $u$ 及初始狀態 $x(0)$ ，在任意有限時間內的積分都為有限值，將此函數稱為供應率函數，則一個系統為耗散系統的條件是存在一個連續的非負函數 $V(x)$ （稱為儲存函數），使得針對任意輸入 $u$ 及初始狀態 $x(0)$ ，以下的不等式（耗散不等式）都成立：

V(x(t))-V(x(0))\leq \int _{0}^{t}u(\tau )\cdot y(\tau )d\tau

,

耗散系統的耗散不等式也可以表示為以下的形式：

{\frac {dV(x(t))}{dt}}\leq u(t)\cdot y(t)

物理的解釋可將 $V(x)$ 視為是系統的能量，而 $u\cdot y$ 是單位時間輸入系統的能量。

此表示方式和李雅普諾夫穩定性有很強的關係，在系統有特定可控制性及可觀察性的條件時，儲存函數可以作為李雅普諾夫函數。

簡單來說，耗散理論可以用來設計線性及非線性系統的回授控制。耗散系統理論是由V.M. Popov、J.C. Willems、D.J. Hill 及P. Moylan等學者提出。對於線性非時變系統，耗散系統即為正實轉移函數，而且Kalman–Yakubovich–Popov引理可以聯繫正實系統的相空間及頻域相關特性。由於耗散理論在應用上的重要性．其仍為系統及控制研究的熱門領域之一。

量子力學中的耗散系統

量子力學及其他以哈密頓力學為基礎的經典動態系統，具有時間可逆轉性（英語：Time reversibility），其本質無法描述耗散系統。理論上可以將系統進行弱耦合，以諧振子為例，可以將許多處於熱平衡，但頻率各自不同的諧振子視為一個整體，整體有很寬的頻譜，記錄整體平均的情形。會得到一個主方程，是林德布拉德方程(Lindblad equation)的特例，而林德布拉德方程可視為劉維爾定理的量子力學版本^[2]。

參考資料

^ Nicolis, Prigogine: Self Organization and Nonequilibrium Systems, Wiley 1977, S. 24.
^ Weiss, U. Quantum Dissipative Systems 4th. World Scientific. 2012. ISBN 978-981-4374-91-0.

Davies, Paul The Cosmic Blueprint Simon & Schuster, New York 1989 (abridged— 1500 words) (abstract— 170 words) — self-organized structures.
B. Brogliato, R. Lozano, B. Maschke, O. Egeland, Dissipative Systems Analysis and Control. Theory and Applications. Springer Verlag, London, 2nd Ed., 2007.
J.C. Willems. Dissipative dynamical systems, part I: General theory; part II: Linear systems with quadratic supply rates. Archive for Rationale mechanics Analysis, vol.45, pp. 321–393, 1972.

外部連結

The dissipative systems model （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） The Australian National University

[1] Nicolis, Prigogine: Self Organization and Nonequilibrium Systems, Wiley 1977, S. 24.

[2] Weiss, U. Quantum Dissipative Systems 4th. World Scientific. 2012. ISBN 978-981-4374-91-0.

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