芬斯拉不等式

芬斯拉不等式（Finsler's Inequality）是一條反映了三角形三邊與其面積之間的關係的幾何不等式。

設△ABC的三邊長分別為$a$, $b$, $c$，面積為$S$，則

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}S$ （若且唯若$a=b=c$時，等號成立）……（1）

證明一：如圖，因任意△ABC的三條高至少有一條在△ABC內，不妨設BC邊上的高AD在△ABC內，設$AD=h$，$BD=m$，$DC=n$，則有

$a^{2}=(m+n)^{2}$，$b^{2}=h^{2}+n^{2}$，$c^{2}=h^{2}+m^{2}$，$S={\frac {(m+n)h}{2}}$，

∵$[h-{\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)h}{2}}]^{2}+[{\tfrac {(m-n)h}{2}}]^{2}\geq 0$ ……（2）

等號若且唯若$h={\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)}{2}}$，且$m=n$時，即△ABC為正三角形時成立。展開（2）式並整理可得

$(m+n)^{2}+h^{2}+n^{2}+h^{2}+m^{2}\geq 2{\sqrt {3}}(m+n)h$，

∴ $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}S$。（當$a=b=c$時，等號成立）

註：證明的關鍵是巧妙在構造不等式（2），為此必須首先猜想到當$a=b=c$時，正三角形的面積最大，此時有$m=n$，$h={\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)}{2}}$，利用這兩個公式就可造出不等式（2）。

證明二：由余弦定理及三角形面積公式，

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S$

$=a^{2}+b^{2}+(a^{2}+b^{2}-2ab\cos C)-2{\sqrt {3}}ab\sin C$

$=2(a^{2}+b^{2}-2ab\sin(C+{\frac {\pi }{6}}))$

$\geq 2(a^{2}+b^{2}-2ab)=2(a-b)^{2}\geq 0$

若且唯若$a=b$，∠C=60°，即$a=b=c$時，等號成立。

芬斯拉不等式的推廣

1、若a、b、c、d為四邊形的四條邊，S為其面積，則有

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4S$

等號若且唯若四邊形為正方形時成立。

2、若$L_{1}$、$L_{2}$、……、$L_{n}$為n邊形的邊長，S為其面積，則有

$L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+$……$L_{n}^{2}\geq 4S\tan {\tfrac {\pi }{n}}(n\geq 3)$

等號若且唯若這個n邊形為正n邊形時成立。