計算機代數系統

計算機代數系統（英語：computer algebra system，縮寫作：CAS）是進行符號運算的軟件。這種系統的要件是數學表示式的符號運算。

表示式的類別

表示式的例子包括：

• 多變元多項式
• 標準函數（三角函數、指數函數等等）
• 特殊函數（Γ函數、Bessel函數等等）
• 由各種表示式合成的函數
• 表示式的導函數、積分、和與積
• 以表示式為系數的級數
• 表示式構成的矩陣

符號運算

以下是幾種典型的符號運算：

• 表示式的簡化
• 對表示式求值
• 表示式的變形：展開、積、冪次、部份分式表法、將三角函數表為指數函數等等。
• 對單變元或多變元的微分。
• 帶條件或不帶條件的整體最佳化。
• 部份或完整的因式分解。
• 求解線性方程組或一些非線性方程式。
• 某類微分方程或差分方程的符號解。
• 求某些函數的極限值。
• 一些函數的定積分或不定基分，包括多變元的情形。
• 泰勒展開式、羅朗展開式與Puiseux展開式
• 某些函數的無窮級數展開式。
• 對某些級數求和。
• 矩陣運算。
• 數學式的顯示，通常藉着TeX之類的系統達成。

其它功能

通常計算機代數系統還能進行一些數值運算：

• 函數的確切求值。
• 高精度求值，例如計算$2^{1/3}$到小數點後$10000$位。
• 線性代數的數值運算。
• 描繪二維或三維的函數圖形。

在數值運算方面，計算機代數系統的速度通常較Matlab、GNU Octave或C語言中以同等方式實作的程式慢。這是因為計算機系統幾乎總是對符號表示式運算，故不能充分利用CPU的既有指令。

許多計算機代數系統內建高階程式語言，以供用戶擴充功能，或設置個人的操作模式。

歷史

馬丁紐斯·韋爾特曼（Martinus J. G. Veltman） 是這個領域的先驅，他首先考慮了在高能物理中的應用。他在1963年設計的第一個程式叫Schoonship（荷蘭文，意指「乾淨的船」）。

最早受到歡迎的系統是Reduce、Derive與Macsyma，現在仍然可取得。Macsyma的一個GNU通用公共許可證發行的版本叫作Maxima，現在仍有維護。市場的龍頭為Maple與Mathematica，兩者被數學家、科學家及工程師們廣泛採用，此外還有MuPAD與MathCad。

另有一些系統着眼於特定的應用領域，這些系統通常在學院中被設計、發展及維護，例如交換代數系統Macaulay 2或數論系統PARI/GP。

當前流行計算機代數系統

• mathHandbook.com (former symbmath)
• Sagemath
• Mathematica
• Maple
• MAGMA
• Maxima
• GAP
• PARI/GP
• Meditor
• MuPAD
• Mathomatic
• Xcas/Giac
• Yacas
• Mate

參考文獻

來源

• Richard J. Fateman. Essays in algebraic simplification. Technical report MIT-LCS-TR-095, 1972.

外部連結

下面是一些線上可用的電腦代數系統的列表：

• （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

MAGMA （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

• https://web.archive.org/web/20110718004430/http://directory.google.com/Top/Science/Math/Algebra/Software/
• http://www.cs.ru.nl/~freek/digimath/xindex.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 開放目錄專案中的「Math Software」
• http://www.mat.univie.ac.at/~slc/divers/software.html （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Use Maxima in a web browser （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） without downloading any software
• http://orms.mfo.de/about （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Rosetta Translations: a collection of synonyms for various operations in the computer algebra systems （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參見

• 數學軟件
• 電腦代數系統比較