調和分析

調和分析，也稱為諧波分析（英語：Harmonic analysis），是數學中的一個分支，是由基本波的疊加來表示其他函數或是信號，並且研究及擴展傅里葉級數及傅里葉變換（也是傅里葉分析的擴展）。自十九世紀以來，調和分析已用在許多的領域中，像是信號處理、量子力學、潮汐理論（英語：Theory of tides）及神經科學。

Rⁿ以下的經典傅里葉變換目前仍然是一個正在研究的領域，特別是將傅里葉變換應用在一些較廣義的概念下，例如緩增廣義函數（tempered distribution）。例如若在某一分佈f上加上一些條件，也會試圖將此條件轉換到f的傅里葉變換上。培力-威納定理（英語：Paley–Wiener theorem）即為此例。培力-威納定理指出若f是一個緊支撐下的非零分佈（這裏包括緊支撐下的函數），則其傅里葉變換一定不會是緊支撐。這是調和分析下不確定性原理的一個基本形式。

調和分析中的調和（harmonic，或稱為諧波）起源自古希臘文harmonikos，意思是「有音樂上的技巧」^[1]。在物理的特徵值問題中，開始用harmonic一詞表示某些特定的波，其頻率是其他波頻率的整數倍，就像泛音列的頻率是第一泛音的整數倍一様，後來這個詞也漸漸擴展，超過原來的意思。

傅里葉級數也常用希爾伯特空間的方式來進行研究，因此調和分析和泛函分析也有一些關係。

抽象調和分析

調和分析中最現代的一個分支，是在二十世紀中出現的，是對拓撲群的分析。其核心概念是許多不同的傅里葉變換，可以擴展為定義在豪斯多夫局部緊緻群（英語：locally compact group）上的函數變換。

阿貝爾局部緊緻群（英語：locally compact group）的調和分析稱為龐特里亞金對偶性。

調和分析研究對偶性和傅里葉變換的性質，設法將其性質延伸到不同的情形下（例如非阿貝爾的李群）。

對於一般性非阿貝爾的局部緊緻群，調和分析和么正表現理論有密切關係。若是緊緻群，彼得-魏爾定理可以解釋在每一個等價表現中，要如何選擇不可約表現來得到調和函數。調和函數的選擇可以用到一些傳統傅里葉變換的特性，例如用單點的乘積來進行卷積，或是對於其底層群的結構有更多的認識。可參考非交換調和分析（英語：Non-commutative harmonic analysis）。

若此群不是阿貝爾群，也不是緊緻群，目前還沒有找到令人滿意（至少要像普蘭切雷爾定理（英語：Plancherel theorem）一樣有力）的理論。不過目前已分析了許多特例，例如SL_n（英語：Special linear group）。在此例中，無限維度的群表示論扮演了重要角色。

其他分支

針對區域、流形、甚至是圖上拉普拉斯算子其特徵值和特徵向量的研究，也是調和分析的一個分支。例如聽出鼓的形狀^[2]。
歐氏空間下的調和分析會處理Rⁿ上的傅里葉變換，其中一些在一般群裏沒有的性質。例如傅里葉變換具有旋轉不變性。將傅里葉變換分解為軸向和球面分量，就會和貝索函數和球諧函數等主題有關。
tube域上的調和分析和將哈代空間的性質擴展到高維空間有關。

參考資料

^ 存档副本. [2017-01-07]. （原始內容存檔於2017-03-14）.
^ Terras, Audrey. Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane 2nd. New York, NY: Springer. 2013: 37 [12 December 2017]. ISBN 978-1461479710. （原始內容存檔於2022-05-04）.

[1] 存档副本. [2017-01-07]. （原始內容存檔於2017-03-14）.

[2] Terras, Audrey. Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane 2nd. New York, NY: Springer. 2013: 37 [12 December 2017]. ISBN 978-1461479710. （原始內容存檔於2022-05-04）.

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抽象調和分析

其他分支

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