數學理論物理中,'超代數指的是Z2-分次代數[1]也就是說,它是交換環上的代數,可以分解為「奇偶」兩部分,並有對次數進行運算的乘法算子。

「超」來自理論物理中的超對稱。超代數及其表示(超模)為超對稱提供了代數框架。對這類對象的研究有時也被稱作超線性代數。超代數在相關的超幾何領域也發揮着重要作用,它們進入了分次流形超流形和超概形。

形式定義

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K交換環。在大多數應用中,K特徵為0的,如RC等。

K上的超代數是具有直和分解的K-A

 

以及雙射乘法 ,使

 

其中下標讀作2,即將其看做 的元素。

超環 分次環整數 上的超代數。 每個 中的元素稱作齊次的。齊次元x奇偶性記作|x|,根據是在 還是在 中取0或1的值。稱奇偶性為0的元素是的,奇偶性為1的元素是的。若xy都齊次,則積xy也齊次,且 

結合超代數指乘法符合結合律的超代數,含么超代數是指有乘法單位元的超代數。含么超代數中的單位元必須是偶的。除非另有說明,本文中所有超代數都假定是結合含么的。

交換超代數(或超交換代數)是一種滿足交換律的分次版本的超代數。具體來說,若對A中所有齊次元xy

 

則稱A交換。有些超代數在普通意義上是交換的,而在超代數意義上不是,因此為避免混淆,交換超代數常稱作「寵愛交換」。[2]

例子

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  • 交換環K上任意代數都可視作K上的純偶超代數,即將 視作平凡的。
  • 任何Z-或N-分次代數都可通過讀取次數模2被視為超代數。這包括張量代數K上的多項式環等例子。
  • 特別地,K上任何外代數都是超代數,外代數是超交換代數的標準例子。
  • 對稱多項式交替多項式分別構成同一超代數的偶部分和奇部分,注意這是與分次不同的分級。
  • 克利福德代數是超代數,通常是非交換的。
  • 超向量空間所有自同態的集合(記作 ,其中粗體的 被稱作內部(interval) ,由所有線性映射組成)形成了組合運算下的超代數。
  • 元素屬於K的所有超方陣的集合形成了超代數,記作 。此代數可以視作等同於秩為 K上自由超模的自同態代數,是這空間的內部Hom。
  • 李超代數李代數的分次類似物。李超代數是無么、非結合的,但可以構造類似於李超代數的泛包絡代數,它是含么結合超代數。

進一步的定義與構造

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偶子代數

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A為交換環K上的超代數。子模 包含所有偶元,對乘法封閉,包含A的單位元,因此形成了A子代數,自然地稱作偶子代數,構成了K上的普通代數

所有奇元素 的集合是 -雙模,其純量乘法就是A中的乘法。A中的積使 具有雙線性形式

 

使得 

 

這源於A中積的結合性。

次對合

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任何超代數上都有規範的對合自同構,稱作次對合(grade involution),在齊次元上表為

 

在任意元上表為

 

其中 x的齊次部分。若A無2-扭子(特別是若2可逆),則次對合可區分A的奇偶部分:

 

超交換

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A上的超交換子(supercommutator)是齊次元的二元運算

 

並可以線性推廣到A的所有元素。若 ,稱xy超交換

A超中心(supercenter)是A中與所有元素超交換的元素集合:

 

一般來說A的超中心與作為未分次代數的特徵的中心不同。交換超代數的超中心是A的全部元素。

超張量積

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兩超代數AB的分次張量積可視作超代數 ,乘法規則為

 

AB是純偶的,則這等同於普通的未分次張量積(不過結果是分次的)。但總之,超張量積一般不同於將AB視作普通未分次代數的張量積。

推廣與範疇論定義

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可以很容易地將超代數的定義推廣到包括交換超環上的超代數。上述定義是基環為純偶的特例。

R為交換超環。R上的超代數(superalgebra)是R-超模A,具有遵從分次的R-雙線性乘法 。此處雙線性意味着對所有齊次元 

 

等價地,可以把R上的超代數定義為超環A與超環同態 ,其像位於A的超中心。

超代數還有範疇論定義。所有R-超模組成的範疇在超張量積下形成么半範疇(monoidal category)(R為單位對象)。接着,R上的結合含么超代數可定義為R-超模範疇中的么半對象(monoid);即,超代數是具有兩個(偶)態射

 

R-超模A,其通常圖是交換的。

註釋

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  1. ^ Kac, Martinez & Zelmanov 2001,第3頁
  2. ^ Varadarajan 2004,第87頁

參考文獻

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