達布定理 (微分幾何)

達布定理 是數學領域微分幾何中關於微分形式的一個定理，部分地推廣了弗羅貝尼烏斯定理。它是包括辛幾何在內多個領域的基石。這個定理以讓·加斯東·達布 命名，他在解 Pfaff 問題 時建立了這個定理。

這個定理的推論之一是任何兩個同維數的辛流形是局部辛同胚的。這就是說，任何 2n-維辛流形能局部的看作帶標準辛形式的線性辛空間 Cⁿ。應用於切觸幾何也有類似的結論。

定理的陳述和第一個推論

定理準確的陳述如下。 設 θ 是一個 n 維流形上的 1-形式，使得 dθ 有常秩 p 。如果任一點都有

θ ∧ (dθ)^p = 0 ，

那麼有一個局部的坐標系 x₁,...,x_n-p, y₁, ..., y_p ，在這個坐標系下

θ = x₁ dy₁ + ... + x_p : θ = x₁ dy₁ + ... + x_p dy_p + dx_p+1。

dy_p。 另一個方面，如果任一點有

θ ∧ (dθ)^p ≠ 0 任何處,

那麼有一個局部坐標系 x₁,...,x_n-p, y₁, ..., y_p 使得

θ = x₁ dy₁ + ... + x_p dy_p + dx_p+1.

特別的，設 ω 是 n=2m 維流形 M 上的一個辛 2-形式。M 上任一點 p 的局部，由 龐加萊引理，總有一個 1-形式 θ 滿足 dθ=ω 。進一步 θ 滿足達布定理的第一個假設，從而局部存在一個 p 附近的坐標卡 U 使得

θ = x₁ dy₁ + ... + x_m dy_m。

取外導數便有

ω = dθ = dx₁ ∧ dy₁ + ... + dx_m ∧ dy_m。

坐標卡 U 稱為 p 附近的達布坐標卡。 流形 M 能被這樣的卡覆蓋。

換一種方式敘述，將 R^2m 與 C^m 等同起來，令 z_j = x_j + i y_j。如果 φ : U → Cⁿ是一個達布坐標卡，那麼 ω 是標準辛形式 ω₀ 在 Cⁿ 上的拉回:

$\omega =\phi ^{*}\omega _{0}\,$ 。

和黎曼幾何的比較

這個結論意味着辛幾何沒有局部不變性：在任何一點附近，總能取一個達布基。這和黎曼幾何具有顯著的不同，高斯絕妙定理指出曲率是黎曼幾何的一個局部不變量。曲率阻礙了將度量局部寫成一個平方和。

必須要強調的是，達布定理是說 ω 能在 p 附近的「整個鄰域」寫成一個標準形式。黎曼幾何中，度量總能在給定一「點」寫成一個標準形式，但一般不能在那個點的鄰域，除非局部為歐氏空間。

又見

• Carathéodory-Jacobi-Lie 定理，這個定理的一個推廣。

參考文獻

• Darboux, Gaston. Sur le problème de Pfaff. Bull. Sci. Math. 1882, 6: 14–36, 49–68. 
• Pfaff, Johann Friedrich. Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin. 1814–1815: 76–136. 
• Sternberg, Shlomo. Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 1964. 
• McDuff, D. and Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 0-19-850451-9. 

外部連結

• Proof of Darboux's Theorem. PlanetMath.