連續統
連續統(英語:Continuum)在數學概念中是指,在實數集裏實數可以連續變動,也就是說,實數集是個連續統。[註 1][註 2]
有序集
編輯在集合論中,連續統是一個擁有多於一個元素的線性序集,而且其序滿足如下性質[註 3]:
實數集即為連續統的例子;實際上它是連續統的原型。以下是連續統的幾個例子:
- 序結構與實數集同構(序同構)的集合,例如實數集裏的任何開區間
- 擴展的實數軸,以及序同構於它的,比如單位區間。
- 實的半開半閉區間如 (0,1] 等,以及其序同構。
- 拓撲學中有一種比實數線還要長的「長直線」
- 非標準分析中的超實數集
連續統的基數
編輯康托的連續統假設有時會被敍述成「在連續統的基數和自然數的基數之間不存在任何基數」,這裏的「連續統」指的是實數集;連續統的基數即特指實數集的基數。
拓撲學
編輯在點集拓撲學中,一個連續統是指任何非空的緊緻連通度量空間。[註 4]
按照以上定義,一個單點集也是連續統。擁有多於一個點的連續統稱為非退化的連續統;由連通性和豪斯多夫性質,可知它一定含有無窮個點。連續統理論即是拓撲學中研究拓撲連續統的分支。其中一個有趣的問題是不可分解連續統的存在性:
- 是否存在這樣的連續統 C ,它可以寫成兩個連續統的並集,且這兩個都是 C 的真子集?
註釋
編輯外部連結
編輯參考
編輯- ^ Charles E. Aull, Robert Lowen. Handbook of the history of general topology. Springer. 2001.