逆威沙特分佈

逆威沙特分佈,也叫反威沙特分佈作是統計學中出現的一類概率分佈函數,定義在實值正定矩陣上。在貝氏統計中,逆威沙特分佈會用作多變量正態分佈協方差矩陣的共軛先驗分佈。 如果一個正定矩陣 逆矩陣 遵從威沙特分佈 的話,那麼就說矩陣 遵從逆威沙特分佈:

逆威沙特分佈
參數 自由度 (實數)
尺度矩陣 (正定)
值域 是正定的
機率密度函數
期望值
眾數 [1]:406

概率密度函數

編輯

逆威沙特分佈的概率密度函數是:

 

其中    都是  正定矩陣,而Γp(·) 則是多變量伽馬分佈英語Multivariate gamma function。函數

 

指的是函數。

相關定理

編輯

威沙特分佈矩陣之逆的概率分佈

編輯

設矩陣  並且    的矩陣,那麼   遵從逆威沙特分佈: 。它的概率密度函數是:

 

其中  ,而   是多變量伽馬分佈[2]

威沙特分佈矩陣之逆的邊際與條件分佈

編輯

設矩陣   遵從逆威沙特分佈。並且假設矩陣    都有相適合的分塊矩陣表示方式:

 

其中子矩陣     的矩陣,那麼會有:

甲)    相互獨立,其中   是子矩陣    中的舒爾補

乙)  ;

丙)  ,其中  矩陣正態分佈

丁) 

共軛分佈

編輯

假設要求先驗分布   為逆威沙特分佈   的協方差矩陣 。如果觀測值   是從互相獨立的 p-變量正態分佈   的隨機變量得到的,那麼條件分佈   遵從的是逆威沙特分佈: 。其中   是樣本協方差矩陣的 倍。

因此,逆威沙特矩陣是多變量正態分佈的共軛先驗分布。

矩相關特性

編輯

期望值:[2]:85

 

矩陣   的每一個系數的方差:

 

對角系數的方差是在上式中令   得到,化簡後變成:

 

相關分佈

編輯

當變量數目減到一個的時候,逆威沙特分佈會變成特例:逆伽馬分佈英語Inverse-gamma distribution。也就是說,當     以及   的時候,逆威沙特分佈的概率密度函數是:

 


這正是逆伽馬分佈。其中   是通常的伽馬函數


而逆威沙特分佈也有推廣,其中一個是正態逆威沙特分佈英語Normal-inverse-Wishart distribution

參見

編輯

參考來源

編輯
  1. ^ A. O'Hagan, and J. J. Forster. Kendall's Advanced Theory of Statistics: Bayesian Inference 2B 2. Arnold. 2004. ISBN 0-340-80752-0. 
  2. ^ 2.0 2.1 Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby. Multivariate Analysis. Academic Press. 1979. ISBN 0-12-471250-9.