在數學 領域，π 的萊布尼茲公式
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
−
⋯
{\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;}
右邊的展式是一個無窮級數 ，被稱為萊布尼茲級數 ，這個級數收斂 到
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
格哥利-萊布尼茲級數 用以紀念萊布尼茲同時代的天文學家兼數學家占士·格哥利 。使用求和 符號可記作：
π
4
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
{\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}
考慮下面的幾何數列 ：
1
−
x
2
+
x
4
−
x
6
+
x
8
−
⋯
=
1
1
+
x
2
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!}
對等式兩邊積分 可得到反正切 的冪級數 ：
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
x
9
9
−
⋯
=
tan
−
1
x
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!}
將x = 1 代入，便得萊布尼茲公式(1的反正切是π ⁄ 4)。這種推理產生的一個問題是1不在冪級數的收斂半徑 以內。因此，需要額外論證當x = 1時級數收斂到tan−1 (1)。一種方法是利用交錯級數判別法 ，然後使用阿貝爾定理 證明級數收斂到tan−1 (1)。然而，也可以用一個完全初等的證明。
考慮如下分解
1
1
+
x
2
=
1
−
x
2
+
x
4
−
⋯
+
(
−
1
)
n
x
2
n
+
(
−
1
)
n
+
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!}
對於|x | < 1，右側的分式是餘下的幾何級數的和。然而，上面的方程並沒有包含無窮級數，並且對任何實數x 成立。上式兩端從0到1積分可得：
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
⋯
+
(
−
1
)
n
2
n
+
1
+
(
−
1
)
n
+
1
∫
0
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
d
x
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!}
當
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty \!}
0
≤
∫
0
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
d
x
≤
∫
0
1
x
2
n
+
2
d
x
=
1
2
n
+
3
→
0
{\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!}
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty \!}
這便證明了萊布尼茲公式。
通過以
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
R
{\displaystyle R}
格點 （即橫坐標與縱坐標皆為整數）個數計算公式來得出，在這裏先考慮費馬平方和定理 ：一個奇質數能表示成兩個平方數之和當且僅當 該質數模4餘1 ，並且不考慮符號與交換律下其形式唯一（由於必為一奇一偶，因此不考慮符號但考慮交換律下必然為兩種形式），比如
29
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle 29\equiv 1{\pmod {4}}}
29
=
2
2
+
5
2
=
5
2
+
2
2
{\displaystyle 29=2^{2}+5^{2}=5^{2}+2^{2}}
23
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle 23\equiv 3{\pmod {4}}}
現在對於所有正整數
N
{\displaystyle N}
質因數分解 形式：
N
=
2
k
(
p
1
α
1
p
2
α
2
⋯
p
m
α
m
)
(
q
1
β
1
q
2
β
2
⋯
q
n
β
n
)
{\displaystyle N=2^{k}(p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{m}^{\alpha _{m}})(q_{1}^{\beta _{1}}q_{2}^{\beta _{2}}\cdots q_{n}^{\beta _{n}})}
其中
{
p
1
,
p
2
,
⋯
,
p
m
}
{\displaystyle \{p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m}\}}
{
q
1
,
q
2
,
⋯
,
q
n
}
{\displaystyle \{q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}\}}
如果
{
β
1
,
β
2
⋯
,
β
n
}
{\displaystyle \{\beta _{1},\beta _{2}\cdots ,\beta _{n}\}}
N
{\displaystyle N}
75
=
3
×
5
2
{\displaystyle 75=3\times 5^{2}}
而當
{
β
1
,
β
2
⋯
,
β
n
}
{\displaystyle \{\beta _{1},\beta _{2}\cdots ,\beta _{n}\}}
(
α
1
+
1
)
(
α
2
+
1
)
⋯
(
α
m
+
1
)
{\displaystyle (\alpha _{1}+1)(\alpha _{2}+1)\cdots (\alpha _{m}+1)}
65
=
5
×
13
{\displaystyle 65=5\times 13}
(
1
+
1
)
(
1
+
1
)
=
4
{\displaystyle (1+1)(1+1)=4}
65
=
1
2
+
8
2
=
2
2
+
7
2
=
7
2
+
2
2
=
8
2
+
1
2
{\displaystyle 65=1^{2}+8^{2}=2^{2}+7^{2}=7^{2}+2^{2}=8^{2}+1^{2}}
2的冪次
k
{\displaystyle k}
N
{\displaystyle N}
k
{\displaystyle k}
2
k
×
65
{\displaystyle 2^{k}\times 65}
接下來引入狄利克雷特徵 函數，定義
χ
(
N
)
=
{
1
N
≡
1
(
mod
4
)
−
1
N
≡
3
(
mod
4
)
0
N
≡
0
(
mod
2
)
{\displaystyle \chi (N)={\begin{cases}1&N\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&N\equiv 3{\pmod {4}}\\0&N\equiv 0{\pmod {2}}\end{cases}}}
χ
(
a
)
⋅
χ
(
b
)
=
χ
(
a
b
)
{\displaystyle \chi (a)\cdot \chi (b)=\chi (ab)}
對於模4餘1的質數
p
{\displaystyle p}
α
{\displaystyle \alpha }
p
α
≡
1
(
mod
4
)
{\displaystyle p^{\alpha }\equiv 1{\pmod {4}}}
χ
(
1
)
+
χ
(
p
)
+
χ
(
p
2
)
+
⋯
+
χ
(
p
α
)
=
α
+
1
{\displaystyle \chi (1)+\chi (p)+\chi (p^{2})+\cdots +\chi (p^{\alpha })=\alpha +1}
對於模4餘3的質數
q
{\displaystyle q}
β
{\displaystyle \beta }
q
β
≡
(
−
1
)
β
(
mod
4
)
{\displaystyle q^{\beta }\equiv (-1)^{\beta }{\pmod {4}}}
χ
(
1
)
+
χ
(
q
)
+
χ
(
q
2
)
+
⋯
+
χ
(
q
β
)
=
{
1
β
≡
0
(
mod
2
)
0
β
≡
1
(
mod
2
)
{\displaystyle \chi (1)+\chi (q)+\chi (q^{2})+\cdots +\chi (q^{\beta })={\begin{cases}1&\beta \equiv 0{\pmod {2}}\\0&\beta \equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}}
對於2以及自然數
k
{\displaystyle k}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
2
0
=
1
{\displaystyle 2^{0}=1}
χ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \chi (1)=1}
k
>
0
{\displaystyle k>0}
χ
(
2
k
)
=
0
{\displaystyle \chi (2^{k})=0}
χ
(
1
)
+
χ
(
2
)
+
χ
(
4
)
+
⋯
+
χ
(
2
k
)
=
1
{\displaystyle \chi (1)+\chi (2)+\chi (4)+\cdots +\chi (2^{k})=1}
由於
χ
(
a
)
⋅
χ
(
b
)
=
χ
(
a
b
)
{\displaystyle \chi (a)\cdot \chi (b)=\chi (ab)}
N
{\displaystyle N}
因數
t
{\displaystyle t}
χ
(
t
)
{\displaystyle \chi (t)}
∑
t
|
N
χ
(
t
)
{\displaystyle \sum _{t|N}\chi (t)}
30
=
2
×
3
×
5
{\displaystyle 30=2\times 3\times 5}
χ
(
1
)
+
χ
(
2
)
+
χ
(
3
)
+
χ
(
5
)
+
χ
(
6
)
+
χ
(
10
)
+
χ
(
15
)
+
χ
(
30
)
=
0
{\displaystyle \chi (1)+\chi (2)+\chi (3)+\chi (5)+\chi (6)+\chi (10)+\chi (15)+\chi (30)=0}
小於等於
R
2
{\displaystyle R^{2}}
n
{\displaystyle n}
⌊
R
2
n
⌋
{\displaystyle \left\lfloor {\frac {R^{2}}{n}}\right\rfloor }
R
{\displaystyle R}
1
+
4
[
⌊
R
2
1
⌋
χ
(
1
)
+
⌊
R
2
2
⌋
χ
(
2
)
+
⋯
+
⌊
R
2
R
⌋
χ
(
R
)
]
=
1
+
4
(
⌊
R
2
1
⌋
−
⌊
R
2
3
⌋
+
⋯
+
⌊
R
2
R
′
⌋
R
′
−
1
2
)
{\displaystyle 1+4\left[\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor \chi (1)+\left\lfloor {\frac {R^{2}}{2}}\right\rfloor \chi (2)+\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R}}\right\rfloor \chi (R)\right]=1+4\left(\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {R^{2}}{3}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R'}}\right\rfloor ^{\frac {R'-1}{2}}\right)}
其中
R
′
{\displaystyle R'}
R
{\displaystyle R}
π
R
2
{\displaystyle \pi R^{2}}
R
→
∞
{\displaystyle R\to \infty }
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
=
π
4
{\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
[ 1]
Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery , A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5 , pages 28–30. 
![{\displaystyle 1+4\left[\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor \chi (1)+\left\lfloor {\frac {R^{2}}{2}}\right\rfloor \chi (2)+\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R}}\right\rfloor \chi (R)\right]=1+4\left(\left\lfloor {\frac {R^{2}}{1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {R^{2}}{3}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {R^{2}}{R'}}\right\rfloor ^{\frac {R'-1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a98458168458b2788f464aac38f5c7218ebe42a)
