互易定理

在電磁學中，互易定理是電磁場理論的重要定理。由勞侖茲首先發現了一個定義在閉合曲面上的電磁場公式。後來Rayleigh-Carson又進一步把定理發展稱為我們今天看到的形式，定義在一個體積分上。

互易定理的陳述

勞侖茲的貢獻

假定有電磁場$[\mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}]$ 和電磁場$[\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}]$ 都是由曲面內的電流元產生的輻射場。這裏假定計算是在頻域或者傅立葉變換域。我們在電磁場公式中省寫了$\omega$。

勞侖茲發現如下形式的互易定理

$\oiint$$\scriptstyle \partial V$$(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} =0$

注意：上面強調兩個電磁場都是輻射場，其實是說這兩個場都必須是滯後波。如果其中一個是超前波，一個是滯後波上述曲面積分不為零。

Rayleigh-Carson的貢獻

假設$[\mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}]$的電流元為：$\mathbf {J} _{1}$ 假設$[\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}]$的電流元為：$\mathbf {J} _{2}$

Rayleigh-Carson的貢獻為 ，

$\int _{V1}(\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dV=\int _{V2}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2})dV$

電路中的互易定理

上面公式反映在電路理論中就為，

$\mathbf {V} _{2}\cdot \mathbf {I} _{1}=\mathbf {V} _{1}\cdot \mathbf {I} _{2}$

其中 $\mathbf {V} _{2}$ 是電流 $\mathbf {I} _{2}$在電流$\mathbf {I} _{1}$ 處產生的電動勢。 測量$\mathbf {V} _{2}$ 時可將電流元$\mathbf {I} _{1}$處電路開路。 $\mathbf {V} _{1}$ 是電流 $\mathbf {I} _{1}$在電流$\mathbf {I} _{2}$ 處產生的電動勢。 測量$\mathbf {V} _{1}$ 時可將電流元$\mathbf {I} _{2}$處電路開路。

互易定理的一般形式

今天我們把如下一般形式的互易定量稱為勞侖茲互易定理，

$\oiint$$\scriptstyle \partial V$$(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A}$

$=\int _{V}(-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dVdt$

在上述一般形式互易定理中考慮勞侖茲的貢獻即可得到Rayleigh-Carson的貢獻的貢獻。互易定理的一般形式也常常被稱為勞侖茲互易定理。

互易定理的推導

由麥克斯韋方程式可直接推導互易定理。但是因為這樣的推導比較繁瑣，也不能體現電磁場定理之間的關係。此處用另一種思路來推導互易定理。 從麥克斯韋方程式出發可以推導坡印廷定理,坡印廷定理可以推導互能定理。麥克斯韋方程式可以推導共軛變化，互能定理同共軛變換可以推導勞侖茲互易定理。

電磁場共軛變換

電磁場共軛變換 $\mathbf {R}$ 在時域定義如下 （Jin Au Kong）：

$\mathbf {R} [\mathbf {E} (t),\mathbf {H} (t),\mathbf {J} (t),\mathbf {K} (t),\epsilon (t),\mu (t)]=[\mathbf {E} (-t),-\mathbf {H} (-t),-\mathbf {J} (-t),\mathbf {K} (-t),\epsilon (-t),\mu (-t)]$

在頻域定義如下， $\mathbf {R} [\mathbf {E} (\omega ),\mathbf {H} (\omega ),\mathbf {J} (\omega ),\mathbf {K} (\omega ),\epsilon (\omega ),\mu (\omega )]=[\mathbf {E} ^{*}(\omega ),-\mathbf {H} ^{*}(\omega ),-\mathbf {J} ^{*}(\omega )(\omega ),\mathbf {K} ^{*}(\omega ),\epsilon ^{*}(\omega ),\mu ^{*}(\omega )]$

其中 $\mathbf {K}$ 為磁流密度。 共軛變換不是像傅立葉變換那樣的數學變換,一個公式經過數學變換它的物理性質沒有變化。共軛變換是一個物理變換。一個電磁場在共軛變換前滿足麥克斯韋方程式，則變換後仍滿足麥克斯韋方程式。共軛變換把滯後波變成超前波，把超前波變成滯後波。一個電磁場的定理經過共軛變換以後仍然是一個電磁場的定理，但是其物理性質會發生變化，因此會成為一個新的物理定理。

互易定理同互能定理的關係

對互能定理兩個電磁場之一，比如 $\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}$ 作共軛變換可得勞侖茲互易定理。 反之， 對勞侖茲互易定理兩個電磁場之一，比如 $\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}$ 作共軛變換可得互能定理。儘管兩個定理有上述緊密的聯繫，它們是兩個完全獨立的定理。勞侖茲互易定理用於處理兩個電流源它們都產生滯後波的情況。互能定理用於一個源產生滯後波，另一個源產生超前波。

由此我們完成了麥克斯韋方程式 到 坡印廷定理 到 互能定理 到 勞侖茲互易定理的證明。

參見

• 經典電磁學

參考文獻

來源

• H. A. Lorentz, "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light," Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896).
• J. R. Carson, "A generalization of reciprocal theorem," Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). Also J. R. Carson, "The reciprocal energy theorem," ibid. 9 (4), 325-331 (1930).