數理邏輯中,代數邏輯使用抽象代數方法形式化邏輯

邏輯作為代數構成的模型

編輯

代數邏輯把邏輯當作特定代數結構構成的模型(解釋、釋義),特別是作為構成的模型,並因而是序理論的分支。

在代數邏輯中:

在下表中,左列包含一個或多個邏輯或數學系統,它是在右列展示的代數結構構成的模型。這些結構要麼是布爾代數要麼是它的嚴格擴展模態邏輯和其他非經典邏輯典型是「帶有算子的布爾代數」所構成的模型。

代數形式主義在至少以下方面超越了一階邏輯:

邏輯系統 構成模型的結構
經典命題演算 林登鮑姆-塔斯基代數

兩元素布爾代數

直覺命題邏輯 Heyting代數
模態邏輯 K 模態代數
LewisS4 內部代數
LewisS5

一元謂詞邏輯

一元布爾代數
一階邏輯 圓柱代數

多元代數 謂詞函子邏輯

集合論 組合子邏輯

關係代數

歷史

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代數邏輯有至少兩種意義:

第一種含義開始於十九世紀中期的奧古斯都·德·摩根喬治·布爾的工作,接續於查爾斯·皮爾士,達到頂點於 Ernst Schröder 的工作。模型論的創立者 Leopold LoewenheimThoralf Skolem 是遵循代數傳統的邏輯學家。塔斯基是現代數理邏輯主要分支之一的集合論上的模型論的創立者,他在 1940 年的論文中重新闡述了 Schröder 的關係代數並簡化了它的公理。這個論文可以被認為是現代抽象代數邏輯的起點。

代數邏輯可以證明開始於萊布尼茲在 1680 年代寫的許多備忘錄中,直到 1903 年才被 Louis Couturat 在萊布尼茲未發表的遺作中找到並出版。他的邏輯學著作在 Parkinson 和 Loemker 1969 年翻譯成英語之前很少被研究。

在 1847 年奧古斯都·德·摩根喬治·布爾獨立的出版了開啟現代數理邏輯的小冊子。他們和後來的查爾斯·皮爾士Hugh MacColl弗雷格皮亞諾伯特蘭·羅素懷特海都共享了萊布尼茲的合併符號邏輯數學哲學的夢想。萊布尼茲方法的頂點被證明為開始於奧古斯都·德·摩根、發展於查爾斯·皮爾士Ernst Schröder關係代數,並在並塔斯基和他的學生的工作中達到了完全成熟。

上述提到的人物都沒有受到萊布尼茲的影響。有一個例外是模態邏輯之父 Clarence Irving Lewis,他在 1918 年出版了萊布尼茲的邏輯學著作的一個重要片段的英文翻譯。

引用

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  • Brady, Geraldine, 2000. From Peirce to Skolem: A neglected chapter in the history of logic. North-Holland.
  • Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots. Princeton Univ. Press.
  • Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibniz’s Logic頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)" in Gabbay, D., and Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege. North-Holland: 1-84.
  • Loemker Leroy. Leibniz: Philosophical Papers and Letters. Reidel. 1969 (1956). 
  • Roger Maddux, 1991, "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations," Studia Logica 50: 421-55.
  • Parkinson, G.H.R., 1966. Leibniz: Logical Papers. Oxford Uni. Press.
  • Willard Quine, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" in The Ways of Paradox. Harvard Univ. Press: 283-307.
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