克萊因瓶

不可定向的表面

數學領域中,克萊因瓶(德語:Kleinsche Flasche)是指一種無定向性的平面,比如二維平面,就沒有「內部」和「外部」之分。克萊因瓶最初的概念提出是由德國數學家費利克斯·克萊因提出的。克萊因瓶和莫比烏斯帶非常相像。

浸入三維空間中的克萊因瓶

要想像克萊因瓶的結構,可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部,向外扭曲後伸進瓶子的內部,再與底部的洞相連接。

和我們平時用來喝水的杯子不一樣,這個物體沒有「邊」,它的表面不會終結。它也不類似於氣球,一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面(所以說它沒有內外部之分)。

其名稱可能源自德語中的「Kleinsche Fläche」(克萊因平面),後來被誤解為「Kleinsche Flasche」(克萊因瓶)。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。[1]

性質

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拓撲學角度上看,克萊因瓶可以定義為[0,1] × [0,1]的矩陣,邊定義為(0,y) ~ (1,y),其中0 ≤ y ≤ 1;和(x,0) ~ (1-x,1),其中0 ≤ x ≤ 1。

可以用圖表示為

 

就像莫比烏斯帶一樣,克萊因瓶是不可定向的。但是與之不同的是,克萊因瓶是一個閉合的曲面,也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以嵌入到三維或更高維的歐幾里得空間,克萊因瓶只能嵌入到於四維或更高維空間。

參數方程模型

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克萊因瓶的參數十分複雜:

 

還有一個較簡單的

 

參見

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參考資料

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  1. ^ Bonahon, Francis. Low-dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots. American Mathematical Soc. : 95 [2021-11-09]. ISBN 978-0-8218-8465-2. (原始內容存檔於2022-04-10) (英語).