克魯斯克爾演算法

克魯斯克爾演算法(英語:Kruskal's algorithm)是一種用來尋找最小生成樹的演算法[1],由美國數學家約瑟夫·克魯斯克爾在1956年發表[2]。用來解決同樣問題的還有普林演算法布盧瓦卡演算法英語Borůvka's algorithm等。三種演算法都是貪婪演算法的應用。和布盧瓦卡演算法不同的地方是,克魯斯克爾演算法在圖中存在相同權值的邊時也有效。

克魯斯克爾演算法
克魯斯克爾演算法的圖解
概況
類別最小生成樹
資料結構併查集
複雜度
平均時間複雜度
空間複雜度
相關變數的定義
點集
邊集

步驟

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  1. 新建圖  中擁有原圖中相同的節點,但沒有邊
  2. 將原圖中所有的邊按權值從小到大排序
  3. 從權值最小的邊開始,如果這條邊連接的兩個節點於圖 中不在同一個連通分量中,則添加這條邊到圖 
  4. 重複3,直至圖 中所有的節點都在同一個連通分量中

證明

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  1. 這樣的步驟保證了選取的每條邊都是橋,因此圖 構成一個樹。
  2. 為什麽這一定是最小生成樹呢?關鍵還是步驟3中對邊的選取。演算法中總共選取了 條邊,每條邊在選取的當時,都是連接兩個不同的連通分量的權值最小的邊
  3. 要證明這條邊一定屬於最小生成樹,可以用反證法:如果這條邊不在最小生成樹中,它連接的兩個連通分量最終還是要連起來的,通過其他的連法,那麽另一種連法與這條邊一定構成了環,而環中一定有一條權值大於這條邊的邊,用這條邊將其替換掉,圖仍舊保持連通,但總權值減小了。也就是說,如果不選取這條邊,最後構成的生成樹的總權值一定不會是最小的。

時間複雜度

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通過使用路徑壓縮的併查集,平均時間複雜度為 ,其中  分別是圖的邊集和點集。

此外,如果同時使用路徑壓縮和按秩合併,時間複雜度可以最佳化到  ,其中 表示反阿克曼函數

範例

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圖例 說明
  ADCE是最短的兩條邊,長度為5,其中AD被任意選出,以突顯表示。
  現在CE是不屬於環的最短邊,長度為5,因此第二個以突顯表示。
  下一條邊是長度為6的DF,同樣地以突顯表示。
  接下來的最短邊是ABBE,長度均為7。AB被任意選中,並以突顯表示。邊BD用紅色突顯表示,因為BD之間已經存在一條(標為綠色的)路徑,如果選擇它將會構成一個環(ABD)。
  以突顯表示下一條最短邊BE,長度為7。這時更多的邊用紅色突顯標出:會構成環BCEBC、會構成環DBEADE以及會構成環FEBADFE
  最終,標記長度為9的邊EG,得到最小生成樹,結束演算法過程。

偽代碼

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KRUSKAL-FUNCTION(G, w)
1    F := 空集合
2    for each 圖 G 中的頂點 v
3        do 將 v 加入森林 F
4    所有的邊(u, v) ∈ E依權重 w 遞增排序
5    for each 邊(u, v) ∈ E
6        do if u 和 v 不在同一棵子樹
7            then F := F ∪ {(u, v)}
8                將 u 和 v 所在的子樹合併

參考源程式

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C++ 實現

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以下代碼基於路徑壓縮和按秩合併的併查集,時間複雜度  

#include <bits/stdc++.h>

struct DSU {
    std::vector<int> fa, sz;
    DSU(int n = 0) : fa(n), sz(n, 1) {
        std::iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
    }
    int Find(int x) { // 路径压缩
        while (x != fa[x])
            x = fa[x] = fa[fa[x]];
        return x;
    }
    bool Merge(int x, int y) { // 按秩合并
        x = Find(x), y = Find(y);
        if (x == y) return false; // 处于同一连通分量
        if (sz[x] > sz[y]) std::swap(x, y);
        fa[x] = y;
        sz[y] += sz[x];
        return true;
    }
}; // 并查集

int main() {
    int n, m; // 点数,边数
    std::cin >> n >> m;
    std::vector<std::tuple<int, int, int>> edge(m);
    // 边集,三元组分别表示边权和边的两个端点
    for (auto &[w, u, v] : edge)
        std::cin >> u >> v >> w;
    std::sort(edge.begin(), edge.end()); // 按边权升序排序
    DSU dsu(n); // 初始化并查集
    long long result = 0; // 最小生成树边权和
    for (auto &[w, u, v] : edge)
        if (dsu.Merge(u, v)) result += w;
        // 合并两个连通分量并统计答案
    std::cout << result << std::endl;
    return 0;
}

參考文獻

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  1. ^ Cormen, Thomas; Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, Clifford Stein. Introduction To Algorithms Third. MIT Press. 2009: 631. ISBN 978-0262258104. 
  2. ^ Kruskal, J. B. On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling salesman problem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1956, 7 (1): 48–50. JSTOR 2033241. doi:10.1090/S0002-9939-1956-0078686-7.