典型相關

在統計學中，典型相關分析（英語：Canonical Correlation Analysis）是對互協方差矩陣的一種理解。如果我們有兩個隨機變量向量 X = (X₁, ..., X_n) 和 Y = (Y₁, ..., Y_m) 並且它們是相關的，那麼典型相關分析會找出 X_i 和 Y_j 的相互相關最大的線性組合。T·R·Knapp指出「幾乎所有常見的參數測試的意義可視為特殊情況的典型相關分析，這是研究兩組變量之間關係的一般步驟。」 這個方法在1936年由哈羅德·霍特林首次引入。

給定兩個隨機向量$X=(x_{1},\dots ,x_{n})'$和$Y=(y_{1},\dots ,y_{m})'$，我們可以定義互協方差矩陣 $\Sigma _{XY}=\operatorname {cov} (X,Y)$ 為 $n\times m$ 的矩陣，其中 $(i,j)$ 是協方差 $\operatorname {cov} (x_{i},y_{j})$。實際上，我們可以基於 $X$ 和 $Y$ 的採樣數據來估計協方差矩陣。(如從一對數據矩陣)。

典型相關分析求出向量 $a$ 和 $b$ 使得隨機變量 $a'X$ 和 $b'Y$ 的相關性 $\rho =\operatorname {corr} (a'X,b'Y)$ 最大。隨機變量 $U=a'X$ 和 $V=b'Y$ 是 第一對典型變量。然後尋求一個依然最大化相關但與第一對典型變量不相關的向量；這樣就得到了 第二對典型變量。 這個步驟會進行 $\min\{m,n\}$ 次。

計算

推導

設 $\Sigma _{XX}=\operatorname {cov} (X,X)$ 和 $\Sigma _{YY}=\operatorname {cov} (Y,Y)$。需要最大化的參數為

$\rho ={\frac {a'\Sigma _{XY}b}{{\sqrt {a'\Sigma _{XX}a}}{\sqrt {b'\Sigma _{YY}b}}}}.$

第一步是定義一個基變更以及

$c=\Sigma _{XX}^{1/2}a,$

$d=\Sigma _{YY}^{1/2}b.$

因此我們有

$\rho ={\frac {c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}{{\sqrt {c'c}}{\sqrt {d'd}}}}.$

根據柯西-施瓦茨不等式，我們有

$\left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\right)d\leq \left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}\left(d'd\right)^{1/2},$

$\rho \leq {\frac {\left(c'\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}}{\left(c'c\right)^{1/2}}}.$

如果向量 $d$ 和 $\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c$ 共線，那麼上式相等。此外，如果 $c$ 是矩陣 $\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}$ (見Rayleigh quotient) 最大特徵值對應的特徵向量，那麼就可以得到相關的最大值。隨後的典型變量對可以通過減少特徵值的量級來得到。正交性保證了相關矩陣的對稱性。

解法

因此解法是：

• $c$ 是 $\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}$ 的一個特徵向量。
• $d$ 是 $\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c$ 的比例項。

相反地，也有：

• $d$ 是 $\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}$ 的一個特徵向量。
• $c$ 是 $\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d$ 的比例項。

把坐標反過來，我們有

• $a$ 是 $\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}$ 的一個特徵向量。
• $b$ 是 $\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}$ 的一個特徵向量。
• $a$ 是 $\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}b$ 的比例項。
• $b$ 是 $\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}a$ 的比例項。

那麼相關變量定義為：

$U=c'\Sigma _{XX}^{-1/2}X=a'X$

$V=d'\Sigma _{YY}^{-1/2}Y=b'Y$

實現

典型相關分析可以用一個相關矩陣的奇異值分解來解決。 以下是它在一些語言中的函數

• MATLAB as canoncorr （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• R as cancor （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） or in FactoMineR （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• SAS as The CANCORR Procedure （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Scikit-Learn, Python as Cross decomposition （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

假設檢定

每一行可以用下面的方法檢測其重要性。由於相關是排好序的，也就是說行 $i$ 為 0 意味着所有後續的相關都為 0。如果我們在一個樣本中有 $p$ 個獨立觀測，對 $i=1,\dots ,\min\{m,n\}$，${\widehat {\rho }}_{i}$ 是其估計相關。對第 $i$ 行，測試統計為：

$\chi ^{2}=-\left(p-1-{\frac {1}{2}}(m+n+1)\right)\ln \prod _{j=i}^{\min\{m,n\}}(1-{\widehat {\rho }}_{j}^{2}),$

上面漸近為一個對大 $p$ 有 $(m-i+1)(n-i+1)$ 個自由度的卡方分佈。 由於所有從 $\min\{m,n\}$ 到 $p$ 的相關從邏輯上來說都是 0，所以在這一點之後的乘積都是不相關的。

參見

• Generalized Canonical Correlation
• Multilinear subspace learning
• RV coefficient
• Principal angles
• 主成分分析
• Regularized canonical correlation analysis
• 奇異值分解
• Partial least squares regression

外部連結

• Hardoon, D. R.; Szedmak, S.; Shawe-Taylor, J. Canonical Correlation Analysis: An Overview with Application to Learning Methods. Neural Computation. 2004, 16 (12): 2639–2664. PMID 15516276. doi:10.1162/0899766042321814. 
• A note on the ordinal canonical-correlation analysis of two sets of ranking scores （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (Also provides a FORTRAN program)- in J. of Quantitative Economics 7(2), 2009, pp. 173-199
• Representation-Constrained Canonical Correlation Analysis: A Hybridization of Canonical Correlation and Principal Component Analyses (Also provides a FORTRAN program)- in J. of Applied Economic Sciences 4(1), 2009, pp. 115-124