分數微積分

數學上，分數微積分（fractional calculus）是數學分析的一個分支，它研究微分算子 $D={\frac {d}{dx}}$ 和積分算子J的實數次冪的可能應用（通常不寫作I,以避免和其他I形符號產生混淆）。

在這個上下文中，冪指反覆應用，和

\,f^{2}(x)=f(f(x))

中的平方意義相同。例如，可以提出如何解釋如下符號的問題

{\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}

作為微分算子的平方根（半次操作），也就是一種算子操作兩次以後可以有微分的效果。

更一般的，

D^{n}

對於實數值的n，使得當n為整數時，若n>0,它等同於通常的冪n次操作，當n<0,它等同於n次積分J。

討論這個問題有幾個原因。一個是，這樣冪Dⁿ組成的半群可以看作一個連續的半群中取離散值的部分。連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。注意，分數是個錯誤的記號，因為指數可以取非有理數，但是分數微積分已成為習慣用法。

歷史緣由

在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。

試探法

一個很自然的想法是問，是否存在一個算子 $H$ 起到半導數的作用，即使得：

H^{2}f(x)=Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)

結論是：這樣的算子是存在的，對於任意 $a>0$ ,存在一個算子 $P$ ,滿足：

(P^{a}f)(x)=f'(x)

，

或者換一個說法, ${\dfrac {d^{n}y}{dx^{n}}}$ 的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n.

在這裏我們引入Γ函數將階乘擴展到實數和複數域上. Γ函數的定義如下：

n!=\Gamma (n+1)

，

假設對函數 $f(x)$ $(x>0)$ 在0到x上求積分，我們可以形式的定義積分算子J:

(Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\;dt

重複這個過程，可得：

(J^{2}f)(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\;ds\right)\;dt

,

這個過程可以任意的重複下去。

利用重複積分的柯西公式，即：

(J^{n}f)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt

我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分算子。

直接利用 $\Gamma$ 函數將離散的階乘擴展為連續的函數。我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式

(J^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\;dt

這個算子定義明確而且具有良好的性質。

可以證明J算子滿足如下關係

(J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha +\beta -1}f(t)\;dt

這個性質叫微分積分算符的半群性。然而用類似方法定義微分算子將變得相當困難，而且定義出來的微分算子D一般來說不對易也不具有疊加性。

分數微分在一個簡單函數上的應用

函數

f(x)=x

（藍色線條）的半導數（紫色線條）以及一階導數（紅色線條）

這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在y=x（藍色），結果（綠色）在一般的積分（α=−1: y=x²/2，紫色）及一般的一次微分（α=+1: y=1，紅色）間連續變化。

假設有一個函數

f(x)=x^{k}\;

。它的一階導數一般是：

f'(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\;

。重複這一過程，得到更一般的結果：

{\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\;

，將階乘用伽瑪函數替換，可得：

{\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a}\;

。當k = 1,並且a = 1/2時我們可以得到函數

x

的半導數：

{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\dfrac {\Gamma (1+1)}{\Gamma (1-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\dfrac {1!}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}x^{\frac {1}{2}}={\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}

。重複這一過程，得：

{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}x^{\frac {1}{2}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma (1)}}x^{0}={\dfrac {2{\sqrt {\pi }}x^{0}}{2{\sqrt {\pi }}0!}}=1

，這正是期望的結果：

\left({\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)x={\dfrac {d}{dx}}x=1

。

以上微分算子的擴展不僅僅局限於實數次。舉個例子， $(1+i)$ 階導數作用後， $(1-i)$ 階導數再作用，可以得到二階導數。同時如果a為負則可為求積分。

分數微分可以得到上述相同的結果（當 $0<\alpha <1$ ）。

D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha }}}dt

對於任意的 $\alpha$ ,由於伽瑪函數的參數在實數部為負整數時沒有定義，需要在分數微分前先進行整數微分。例如

D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x)

拉普拉斯變換

我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知

${\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)$

以及

${\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)$

然後繼續下去，我們可以推斷:

$J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}$

舉例來說:

$J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}$

如同預期一樣。的確，我們給出捲積性質。

${\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}$

然後為了方便，令 $p (x) = x α - 1$ ，我們發現到:

${\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}$