半雙線性形式

數學中,在複數向量空間V上的半雙線性形式是映射V × VC,它在一個參數上是線性的而在另一個參數上是反線性(半線性)的。比較於雙線性形式,它在兩個參數上都是線性的;要注意很多作者尤其是在只處理複數情況的時候,把半雙線性形式稱為雙線性形式。

一個主要例子是在複數向量空間上的內積,它不是雙線性的而是半雙線性的。

定義和習慣

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對哪個參數應當是線性的有不同的習慣。這裏採用第一個是半線性(共軛線性)而第二個參數是線性。基本上所有物理學家皆使用這習慣,這習慣起源於狄拉克量子力學中使用的狄拉克符號。數學家則可能使用相反的習慣。

指定映射φ : V × VC是半雙線性的,如果

 

對於所有x,y,z,wV和所有a, bC

半雙線性形式可以被看作雙線性形式

 

這裏的 V複共軛向量空間。通過張量積的泛性質,它一一對應於(複數)線性映射

 

對於V中固定的z,映射 是在V上的線性泛函(也就是對偶空間V* 的一個元素)。類似的,映射 V上的共軛線性泛函

給定V上任何半雙線性形式φ,我們可以通過共軛轉置定義第二個半雙線性形式ψ:

 

一般而言,ψ和φ是不同的。如果它們相等,則φ被稱為Hermitian形式。如果它們相互為負值,則φ被稱為斜-Hermitian形式。所有半雙線性形式可以寫為一個Hermitian形式和一個斜-Hermitian形式的和。

幾何動機

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雙線性形式一般化了平方( ),而半雙線性形式一般化了歐幾里得範數 )。

關聯於半雙線性形式的範數在乘以複數圓(單位範數的複數)的乘法下是不變的,而關聯於雙線性形式的範數是(關於平方)等變的。雙線性形式在代數上更加自然,而半雙線性在幾何上更加自然。

如果B是在複數向量空間上的雙線性形式而  是關聯的範數,則  

相反的,如果S是在複數向量空間上的半雙線性形式而  是關聯的範數,則  

埃爾米特形式

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這個術語還稱呼在埃爾米特流形上的特定微分形式

埃爾米特形式(也叫做對稱半雙線性形式)是半雙線性形式h : V × VC,有着

 

Cn上的標準埃爾米特形式為

 

更一般的說,在任何希爾伯特空間上的內積都是埃爾米特形式。

如果V是有限維的空間,則相對於V的任何{ei},埃爾米特形式可表示為埃爾米特矩陣H

 

H的分量給出為Hij = h(ei, ej)。

關聯於埃爾米特形式的二次形式

Q(z) = h(z,z)

總是實數的。實際上可證明半雙線性形式是埃爾米特形式,若且唯若關聯的二次形式是實數的,對於所有zV

斜-埃爾米特形式

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斜-埃爾米特形式(也叫做反對稱半雙線性形式)是半雙線性形式ε : V × VC,有着

 

所有斜埃爾米特形式可以寫為i乘以埃爾米特形式。

如果V是有限維空間,則相對於任何V{ei},斜埃爾米特形式可表示為斜埃爾米特矩陣A

 

關聯於斜埃爾米特形式的二次形式

Q(z) = ε(z,z)

總是純虛數