博赫納恆等式

在微分幾何中，博赫納恆等式是關於黎曼流形之間調和映射的恆等式。 它以美國數學家所羅門·博赫納的名字命名。

數學表述

設 M 和 N 為黎曼流形，並令 u : M → N 為一個調和映射。 設du 表示的u的（向前）導數，∇為梯度，Δ為拉普拉斯–貝爾特拉米算子，Riem_N 為N上的 黎曼曲率張量，Ric_M 為M上的里奇曲率張量，則有

${\frac {1}{2}}\Delta {\big (}|\nabla u|^{2}{\big )}={\big |}\nabla (\mathrm {d} u){\big |}^{2}+{\big \langle }\mathrm {Ric} _{M}\nabla u,\nabla u{\big \rangle }-{\big \langle }\mathrm {Riem} _{N}(u)(\nabla u,\nabla u)\nabla u,\nabla u{\big \rangle }.$

參見

• 博赫納公式

參考文獻

• Eells, J; Lemaire, L. A report on harmonic maps. Bull. London Math. Soc. 1978, 10 (1): 1–68. MR 0495450. doi:10.1112/blms/10.1.1. 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Bochner identity. MathWorld.