合同 (數學)

在數學中，合同（英語：Congruence，符號：≅）做為一個一般性的概念，指的是一組物件之間的等價關係。例如：

• 幾何中的合同或稱全等，亦即等距同構，一般來說，就是相同的形狀與大小。
• 算術中的合同，亦即同餘。同餘是抽象代數中的同餘關係的原型。同餘所使用的符號是 ≡。
• 抽象代數中的合同，亦即同餘關係，這是代數結構之間在結構上相容的等價關係。
• 矩陣論中的合同，亦即合同矩陣。若存在非奇異矩陣$P$，使得 $P^{T}AP=B$，則稱$A,B$是合同或相合的。

合同符號的歷史

萊布尼茲最先發明了相似與合同的符號，他使用波浪號（$\sim$）來表示幾何形的相似，另在波浪號下方加上一條橫線（$\simeq$）來表示幾何形的合同。十八世紀的數學家將相似符號（$\sim$）與等號（$=$）結合在一起（$\cong$），更能表達出合同的意義，亦即相似與相等的重合概念。

高斯於1801年出版了《算術研究》，其中使用三橫線（$\equiv$）來表示算術上的合同。高斯的學生黎曼使用這個符號來表示幾何上的相同（identical，兩個幾何形經由移動與轉動而完全疊合）或是算術上的恆等（identity），稍後的數學家則使用這個符號來表示幾何上的合同，並在大英帝國流行起來。因此，在十九世紀的英國，算術與幾何的合同都是用$\equiv$符號來表示。

最早採用波浪符號（$\sim$與$\cong$）的美國數學家是 G. A. Hill 與 G. B. Halsted。二十世紀的美國數學家群起使用$\sim$來表示幾何上的相似，$\cong$表示幾何上的合同，而成為現代的標準。算術的合同符號仍舊沿用高斯的符號。

外部連結

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Origins of some arithmetic terms - Pballew.net#congruen
• The historical development of group theoretical ideas in connection with Euclid's axiom of congruence.（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參見

• 全等
• 同餘
• 同餘關係
• 合同矩陣