商環

在環論中，商環（或稱剩餘類環）是環對一個理想的商結構。

定義

設$R$為一環，$I\subset R$為一雙邊理想。定義下述等價關係

$x\sim y\iff x-y\in I$

令$R/I$為其等價類的集合，其中的元素記作$a+I$，其中$a$是該元素在$R$上任一代表元。我們可以在$R/I$上定義環結構：

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$

$(a+I)\cdot (b+I)=ab+I$

以上運算是明確定義的（在第二式中須用到$I$是雙邊理想）。集合$R/I$配合上述運算稱作$R$對$I$的商環。根據定義，商映射$R\rightarrow R/I,a\mapsto a+I$是滿的環同態，$I$為此同態的核。

如果$R$含單位元素$1$，則$1+I$是$R/I$的單位元素。

註：若條件弱化為$I$是左（或右）理想，上述兩式仍可賦予集合$R/I$左（或右）$R$-模結構。

例子

• 最平凡的例子是$I=(0),I=R$，此時分別得到$R/(0)=R,R/R=(0)$。
• 取$R=\mathbb {Z} ,I=n\mathbb {Z}$，商環$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$可視為模運算的代數框架，其中的元素即模$n$的剩餘類。
• 商環是構造代數擴張的主要工具。例如取實系數多項式環$R=\mathbb {R} [X]$，$I=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]$，則商環$\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$與複數體$\mathbb {C}$同構（考慮映射$f(X)+(X^{2}+1)\mapsto f(i)$）。一般而言，設$F$為一個域，$p(X)\in F[X]$為$F$上的不可約多項式，則商環$F[X]/p(X)$的意義在於抽象地在$F$上加進$p(X)$的一個根。

性質

商環由下述泛性質唯一決定（至多差一個同構）：

設$\pi :R\rightarrow R/I$為商同態；對任何環同態$\phi :R\rightarrow S$，若 $\mathrm {Ker} (\phi )\supset I$，則存在唯一的同態$\psi :R/I\rightarrow S$，使得$\psi \circ \pi =\phi$。

事實上，若更設$\mathrm {Ker} (\phi )=(0)$，則$\psi :R/I\rightarrow S$是單射。準此，$R$的同態像無非是$R$的商環。

理想的性質常與其商環相關，例如當$R$是交換含幺環時，$I$是質理想（或極大理想）當且僅當$R/I$是整環（或域）；$R$中包含$I$的理想一一對應於$R/I$中的所有理想，此對應由商映射的逆像給出。

文獻

• Serge Lang, Algebra（2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X