四元玉鑒

《四元玉鑑》是中國元朝數學家朱世傑的代表作，成書於大德七年（1303年）。書中主要講述了多元（一元至四元）高次方程組的建立和化為一元高次方程（最高達14次）的消元法。建立四元高次方程及根據逐次消元法將多元高次方程化為一元高次方程的方法稱為四元術。

四元玉鑒書影

朱世傑《四元玉鑑》卷首的「古法七乘方圖」

四元術中根據題目設立四個未知數（天元，地元，人元，物元），和一組四個多元高次非線性方程組。然後從這些方程組中消去一個未知數，得到三個未知數的高次多項式方程組；接着從這三個三元高次方程組中消去第二個未知數，得到兩個含兩個未知數的高元多項式方程組；下一步從兩個二元高次方程組中再消去一個未知數，最後得到只含一個未知數的的高次方程式。

建立方程以及求解方程的機械化方法，是中國傳統數學的核心。張蒼《九章算術》闡明了解多元線性方程的消元法（即後來高斯重新發現的高斯消元法）。宋朝秦九韶《數學九章》的玲瓏開發法解決了一元高次多項式方程的求根問題。朱世傑將張蒼消元法推廣到多元非線性多項式方程組，將其化為一元高次多項式方程，正可以秦九韶的玲瓏開方法求解。在建立方程方面，朱世傑將天元術，推廣到多元變數。《四元玉鑑》融匯了張蒼消元法，秦九韶玲瓏開方法和天元術成就，是中國傳統數學的集大成者，將中國傳統數學的機械化算法推進到一個高峰。

《四元玉鑑》承前啟後，繼往開來，其多元多項式方程組的消元法，成為吳文俊院士的特徵列數學機械化的基礎之一的吳消元法。

此外，《四元玉鑑》還講述了關於垛積術（三角垛、三角撒星垛、四角垛、圓錐垛、芻童垛、芻甍垛等高階等差級數的求和問題和反問題）與招差術。

《四元玉鑑》分卷首、上卷、中卷、下卷，24門，收錄288問，包括天元術232問，二元術36問，三元術13問，四元術7問。卷首四問是例題，有草（解題步驟），其他284問只有術而沒有草。1837年，清代數學家羅士琳補草，刊行《四元玉鑑細草》三卷。

卷首

四元自乘演段圖

$(x+y+z+w)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw$

立四元:

x

y 太w

z

自乘得：

a 勾 b 股 c 弦

一氣混元

本節闡明天元術。

今有黃方乘直積得二十四步，只雲股弦和九步，問勾幾何？

答曰：三步。

草曰:立天元一為勾

根據條件 黃方乘直積得二十四步

黃方：$(a+b-c)$

直積：$ab$

得 $(a+b-c)ab=24$

此外：股弦和九步

$b+c=9$ $x=a$(立天元一為勾) 由此得方程

（ $x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888$）

太

解之，得勾=3

兩儀化元

本節闡明二元術。

今有股冪減弦較較與股乘勾等。只雲勾冪加弦較和與勾乘弦同。問股幾何？

答曰：四步

草曰：立天元一為股，地元一為勾弦和。

天地配合求解得

太

今式： $-2y^{2}-xy^{2}+2xy+2x^{2}y+x^{3}=0$;

又根據所給條件得

太

雲式： $2y^{2}-xy^{2}+2xy+x^{3}=0$;

由此得：

太

$8x+4x^{2}=0$

及

太

$2x^{2}+x^{3}=0$

相消得

$x^{2}-2x-8=0$

解之，得 $x=4$。

三才運元

本節闡明三元術

朱世傑在《三才運元》一節，比較詳細的闡述逐次消元法，受到國內外學者的重視。

今有股弦較除弦和與直積等。只雲勾股較除弦較和與勾同。問弦幾何？

答曰：五步。

術曰：立天元一為勾，地元一為股，人元一為弦，物元一為開數。

：得到

太 今式$-y-z-y^{2}x-x+xyz=0$

雲式：$-y-z+x-x^{2}+xz=0$

太 三元式：$y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;$

三元式與雲式相消，

人天易位 人弦-->天勾

得：

太

前式$-x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y$

及

太

後式 $-2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}$

相消得

$x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0$

解之得 $x=5$ 天勾=5；

人天易位 天勾-->人弦

得弦=五步。

四象會元

本節闡明四元術。

四象會元

今有股乘五較與弦冪加勾乘弦等。只雲勾除五和與股冪減勾弦同。問黃方帶勾股弦共幾何？

答曰：一十四0 步。

草曰：立天元0 一為勾，地元一為股，人元一為弦，物元一為開數。

得四元方程組

1： 0 0 $-2y+x+z=0$;

2： 0 0 $-y^{2}x+4y+2x-x^{2}+4z+xz=0$;

3： 0 0 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$;

4： 0 0 $2y-w+2x=0$;

消元，物易天位

$4x^{2}-7x-686=0$

解之，

物易天位，得 十四步。

卷上

混積問元

直段求源

一十八問。

第十八問：

今有積以和乘之，減積，余以平乘之加和，得一十七萬一百六十二步。只雲和為益實。四為益方，三為從上廉，二為益下廉，一為正隅，三平方開之，如平四分之一。問，長，平各幾何？ 答曰：平一十二步，長三十步。

立天元一為開方數，得：

$16x^{10}-64x^{9}+160x^{8}-384x^{7}+512x^{6}-544x^{5}+456x^{4}+126x^{3}+3x^{2}-4x-177162=0$

解之得 x=3， 乘四得12， 即平數。

混積問元

十八問

端匹互隱

九問

廩粟回求

六問

商功修築

七問

和分索隱

一十三問。

卷中

今有圓城

如意混和

二問

方圓交錯

九問

三率究圓

一十四問

今有平圓積四十九步三百一十四分步之二百三十九。問：為徽率周幾何？

答曰：二十五步。

立天元一為徽率圓周

圓面積 $A=\pi r^{2}=49+239/314$

圓周 $x=2\pi r$

圓周率 $\pi$ 取徽率 $3927/1250$

得下列方程：

$25x^{2}-15625=0$

即 $x=25$.

明積演段

二十問

勾股測望

八問

第一問：

今有直邑，不知大小，各開中門。只雲南門外二百四十步有塔，人出西門行一百八十步見塔，復抹邑西南隅行一里二百四十步恰至塔所；問邑長闊各幾何？

答曰：長一里一百二十步，闊一里。

立天元一為邑長之半，得四次方程：

$x^{4}+480x^{3}-270000x^{2}+15552000x+1866240000=0$。

解之得 x=240步，邑長=2x= 480b步=1里120步。

同理， 令天元一為邑闊之半

得方程：

$x^{4}+360x^{3}-270000x^{2}+20736000x+1866240000=0$。

解之得 x=180步，邑長=360步=一里。

第七問：

今有營居山頂，岩底有泉，欲汲而不知其深。偃矩山上，令句高四尺，從矩高端望泉入下股六尺。又設重矩於上，其矩間相去一丈六尺，更從矩端望泉入上股五尺六寸。問岩深幾何？

答曰：岩深二十二丈。

此問與劉徽《海島算經》望深谷同。

第八問：

今有登山臨邑，不知門高。偃矩山上，令勾高三尺，斜望門額入下股四尺八寸，復望門困，入下股二尺八寸八分。復又立重矩於上，其間相去五尺。更從勾端斜望門額入股三尺六寸，又望門困入上股二尺四寸。問城門高幾何？

答曰：門高一丈。

此問與劉徽《海島算經》望清淵同。

或問歌彖

一十二問

茭草形段

七問

箭積交參

七問

拔換截田

拔換截田

一十九問

如像招數

五問。 卷中《如像招數》第五問給出世界上最早的四次內插公式：

今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，得數為兵，今招一十五方，每人日支錢二百五十文，問兵及支錢各幾何。或問還原：依立方招兵，初招方面三尺，次招方面轉多一尺，得數為兵。今招一十五日，每人日支錢二百五十文，問招兵及支錢幾何？
答曰：兵二萬三千四百人，錢二萬三千四百六十二貫。
術曰求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六
求兵者，今招為上積，又今招減一為茭草底子積為二積，又今招減二為三角底子積，又今招減三為三角一積為下積。以各差乘各積，四位並之，即招兵數也。

先求出上差（一次差），二差（二次差），三差（三次差）和下差（四次差），然後求出答案，是四次插值法（招差術)的運用

日數	招兵總數	上差（每日招兵數）	二差	三差	下差
1	27	27
2	91	64	37
3	216	125	61	24
4	432	216	91	30	6
5	775	343	127	36	6

招兵總數=$nx+{\frac {n(n-1)}{2\times 1}}y+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3\times 2\times 1}}z+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{4\times 3\times 2\times 1}}w$。

其中x=上差, y=二差, z=三差, w=下差。

卷下

果垛疊藏

二十問 此章論述三角垛、三角撒星垛、四角垛、圓錐垛、芻童垛、芻甍垛。

第一問：

今有三角垛果子一所，值錢一貫三百二十文，只雲從上一個值錢二文，次下層層每個累貴一文，問底子每面幾何？

答曰：九個。

術曰：立天元一為每個底子，如積求之，得三萬一千六百八十為益實十為從方，二十一為從上廉，一十四為下廉，三為從隅，三桀方開之，得每個底子，合問。

三角垛級數：$1+3+6+10+\dots +{\frac {n(n+1)}{2}}$

三角垛自上而下，每邊的果子數是：

1，2，3，4，5，6, $\dots$, n.

自上而下，每個果子值錢：

2，3，4，5，6, $\dots$, n+1.

三角果子垛價值V由下列級數表示

$v=2+9+24+50+90+147+224+\dots +{\frac {n(n+1)^{2}}{2}}$

這是一個已知級數和，倒求 n 的數學問題。

朱世杰用天元術，令天元一 為每底邊的果子數 （x=n)

朱世杰用的求和公式：$v={\frac {(3x+5)x(x+1)(x+2)}{2\times 3\times 4}}$

今$v=1320$得

$3x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0$

解之，得$x=n=9$。

$v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320$。

鎖套吞容

一十九問

方程正負

八問

雜范類會

一十三問

兩儀合轍

一十二問。用天地二元。

左右逢元

二十一問。用天地二元。

三才變通

一十一問。用天，地，人三元。

四象朝元

六問，用天，地，人，物四元。

第二問：

今有弦較和如股冪八分之三。只雲弦較較如勾弦和冪四分之一。

問二弦四勾二股三事連環得幾何？ 答曰：三十步。

立天元一為勾，地元一為股，人元一為弦，物元一為開數。

得：

$-3y^{2}+8y-8x+8z=0$

$4y^{2}-8xy+3x^{2}-8yz+6xz+3z^{2}=0$

$y^{2}+x^{2}-z^{2}=0$

$2y+4x+2z-w=0$

版本

1. 王萱玲抄本 1819
2. 沈欽裴細草本 1822
3. 何元錫刊本 1822年
4. 羅士琳細草本 1837
5. 戴煦細草抄本 1845
6. 志古堂刻本 1891
7. 鴻寶齋石印本 1895
8. 萬有文庫：朱世傑撰 羅士琳補草《四元玉鑒細草》上中下三冊 （據羅士琳1839年刊本影印）民國26年
9. 歷代算學集成本影印 1994
10. 傳世藏書本 1996
11. 大中華文庫 《四元玉鑒》 Jade Mirror of the Four Unknowns 中英對照本 兩卷本 郭書春今譯 陳在春英譯 郭金海整理 遼寧教育出版社 2006
12. 李兆華校正 《四元玉鑒》 科學出版社 2007

參考資料

• 吳文俊主編 《中國數學史大系》 第六卷 第四編 朱世杰的數學成就 206-280 ISBN 7-303-04927-4/O