圓形函數

拓撲學和微積分中，圓形函數（round function）是流形M上的純量函數$M\to {\mathbb {R} }$，其臨界點形成連通分量，每個都同胚於圓$S^{1}$，因此也叫臨界環。圓形函數是莫爾斯–博特函數的特例。

黑色圓圈就是其中一個臨界環。

例子

例如，令M為環面；

$K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,$

則知映射$X\colon K\to \mathbb {R} ^{3}$

$X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,$

是幾乎所有M的參數化。現在，通過射影$\pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }$可得限制條件

$G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,$

$G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta$是臨界集定義為

${\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0)$

的函數，若且唯若$\theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}$。

$\theta$這兩個值給出臨界集

$X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,$

$X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,$

代表環面M上的兩個極值圓。 注意此函數的黑塞矩陣是

${\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}$

這清楚地表明，在標記圓處${\rm {rank}}({\rm {hess}}(G))=1$、使臨界點退化；也就是說，這表明臨界點不是孤點。

圓複雜度

模仿LS範疇論，可以定義流形上是否存在圓形函數和/或臨界環的最小數目的圓複雜度。

參考文獻

• Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. An update at [2]