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增根及失根,是解數學方程式時可能產生多出不符合原題目的根(解答),或是忽略正確的根的情況。
代數的基本原則之一,是在不改變方程式的解的情況下,用相同的式子乘以方程式的兩邊。然而,嚴格來說,這是不正確的,因為乘以相同的式子可能會產生原方程式沒有出現的解。下面是一個會產生增根的方程的例子:
等式兩邊乘以 ,得
得
但將 代入原方程中,得
此時,出現了分母為零的情況,所以這是一個增根,是等式兩邊乘以零所致。
下面是一個可能失根的方程的例子:
運算時可能錯誤地將兩邊除以 ,得
這個根固然是正確的,但忽略了另一個正確的根 ,是等式兩邊除以零所致。