對偶錐和極錐

對偶錐和極錐(英語:dual cone and polar cone)是凸分析中的兩個概念。

對偶錐

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集合C和它的對偶錐C*

在向量空間內

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實數線性空間 X (例如歐幾里得空間Rn)中子集 C 的雙錐C*,與對偶空間 X* 成集合:

 

此中  XX* 的對偶組合,即  

C* 始終是凸錐,即使 C 既不是凸錐也不是錐。

在拓撲空間內

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如果 X 是實數或複數上的拓撲向量空間,則其子集 C⊆X 的對偶錐是 X 上的以下連續線性泛函集合:

 ,[1]

這是集合 -C 的極錐[1],不管 C 是什麼。  都將是一個凸錐。如果 C⊆{0},則 

極錐

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閉合凸錐C的極錐是閉合凸錐Co,反之亦然

對於X中的集合C,C的極錐是集合[2]

 

可以看出,極錐等於雙錐的負值,即Co=−C*

對於X中的閉合凸錐C,極錐相當於C的極集(polar set)[3]

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 Schaefer & Wolff 1999,第215–222頁.
  2. ^ Rockafellar, R. Tyrrell. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997: 121–122 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6. 
  3. ^ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3. Springer. 2007: 215. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9.