龐加萊映射

在數學領域中, 尤其是對動態系統的研究中, 龐加萊映射, 或第一次回歸映射是連續動力系統的狀態空間中的周期軌道與確定的低維子空間的橫向交點, 其中的低維子空間被稱作龐加萊截面. 更精確的說, 對於具有初值位於龐加萊截面上的周期軌道, 軌道第一次回到龐加萊截面上的交點就定義了初值的龐加萊映射, 這就是第一次回歸映射的由來.

強迫杜芬方程的二維龐加萊截面.

定義

在龐加萊截面 S 上, 龐加萊映射 P 將 x 映射為 P(x).

設 (R, M, φ) 為一個全局動態系統, 其中 R 是實數, M 為相空間 , φ 為演化函數. 設 γ 為通過點p的周期軌道, S局部可微, 為過點p的龐加萊截面, 即在點p處橫截穿過φ .

對包含點 p 的連通開鄰域 U, 函數

$P:U\to S$

稱為通過點 p 的軌道 γ 在龐加萊截面 S 上的龐加萊映射, 如果

• P(p) = p
• P(U) 是點 p 的一個鄰域, 並且 P:U → P(U) 是一個微分同胚
• 對 U 中的每個點 x , P(x) 是過 x 正向發展的軌道與截面 S 第一個交點

參閱

• 龐加萊復現定理
• Stroboscopic map
• Henon映射
• Recurrence plot

參考文獻

• Nicholas B. TUFILLARO, Poincaré Map （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, (1997)
• Shivakumar JOLAD, Poincare Map and its application to 'Spinning Magnet' problem, (2005)