微元法

微元法（英語：Differential element method），也叫元素法、微元素法、無窮小元素的求和法，是數學和物理中常用的一種求解數學和物理問題的方法。

概述

在求解力學量和物理量的實際應用中，很多新量的建立需要類似定積分中在求解面積和路程問題時分割、近似、求和、取極限的過程，為了使這一過程簡化，微元法也就應運而生，微元法本身就是定積分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取極限的簡略過程，所以微元法也是一種思想方法。

歷史上，在微積分的理論基礎還不清楚，微分還沒有嚴格定義時，微分被理解為一個比零大，但又比任何正數小的神秘的「數」，是無法理解的，這與現代明確的微分定義是不同的，它所對應的被度量的物理量就是微元。微元就是用這種無限小「微分」度量的具體的量，把微元理解為一個「無限小的過程」即「元過程」，這個「過程」可以是角度、線段、面、體，還可以是時間、位移、功等等，積分便是這些「無限小過程」之和，在求解力學量和物理量時，用這種想法可以快速地建立新量的積分表達式，因為這種想法方便實用，簡便快捷，所以應用相當廣泛。

當微積分的理論基礎嚴格建立起來之後，舊的微分概念被拋棄了，取而代之的是現在的微分概念，微元法也有了嚴格的敘述方式，但在實際應用中，嚴格敘述較為繁瑣，所以往往還是採用過去的理解，把微元看做「無限小的過程」。

內容

假設在某一實際問題中，對於給定的連續函數$y=f(x)$，量$Q$有以下三個特點：

1.一方面，$Q$是由區間$[a,b]$所決定的常量，不妨記之為$Q([a,b])$。另一方面，當考慮右端點變動的區間$[a,x](a<x\leq b)$時，$Q([a,x])$又依賴於$x$而成為變量，也就是說，它又是$x$的函數而簡記為$Q(x)$。
2.對於$[a,b]$的每個子區間，$Q$都有確定的值，並且關於區間有可加性，即若$[\alpha ,\beta ]\subset [a,b],[\beta ,\gamma ]\subset [a,b]$，則

$Q([\alpha ,\gamma ])=Q([\alpha ,\beta ])+Q([\beta ,\gamma ]).$

3.部分量$\Delta Q_{i}$的近似值可表示為$f(\xi _{i})\Delta x_{i}$。

為了計算出量$Q$並把它表達為積分的形式，我們採取兩個步驟：

第一步（分割、近似），將區間$[a,b]$進行分割，而得到

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b$,

並求出$Q([x_{i},x_{i+1}])$(即$\Delta Q_{i}$)的近似值$f(\xi _{i})\Delta x_{i}$。

第二步（求和、取極限），將$f(\xi _{i})\Delta x_{i}$關於$i$從$0$到$n-1$求和得到

$Q([a,b])=\sum _{i=0}^{n-1}Q([x_{i},x_{i+1}])\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

令$max\left\{\Delta x_{i}\right\}\rightarrow 0$取極限，由於連續函數$f(x)$的可積性，最後得

$Q([a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

接下來我們把這個過程進行簡化。

由上式可以知道

$Q(x)=Q([a,x])=\int _{a}^{x}f(x)\,dx(a<x\leq b)$

如果略去足碼$i$，而將任意的小區間記為$[x,x+dx]$，並取$Q([x,x+dx])$的近似值為$f(x)dx$，由微分形式的微積分基本定理可知，它恰恰是$Q(x)$的微分，即$dQ=dQ(x)=f(x)dx$ 於是在實際應用上，上述兩個步驟可以簡述為

第一步，在區間$[x,x+dx]$上計算$Q$的微分$dQ=f(x)dx$

第二步，在$[a,b]$上求和（求積）得

$Q=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

不論是幾何的物理的還是其他科學技術的量，只要它具有上述的三個特點，我們就可以用這個一般的程式求出它。這種方法通常稱為無窮小元素的求和法或微元法。而$dx$及$dQ$則稱為無窮小元素或微元。由於在力學和物理學的大部分問題中，通過問題的實際意義可以知道，所求量的函數是連續函數，因此微元法總是可以應用的。

參考資料

• 《微積分學教程》菲赫金哥爾茨編
• 《數學分析》宋國柱等編
• 《數學分析（第三版）》華東師範大學數學系編
• 《高等數學（第六版）》同濟大學數學系編