旋轉曲面是一條平面曲線C繞它所在平面的一條直線L旋轉一周所生產的曲面,其中曲線C稱之為該旋轉曲面的母線,直線L稱為該旋轉曲面的旋轉軸

曲線x=2+cos z的一部分繞着z軸旋轉。

例子包括球面,由繞着其直徑旋轉而成,以及環面,由圓繞着外面的一條直線旋轉而成。

面積

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如果曲線由參數方程  給出,其中 ,且旋轉軸是 軸,則旋轉曲面 的面積由以下的積分給出:

 

條件是 非負。這個公式與古爾丁定理是等價的。

 

來自勾股定理,表示曲線的一小段弧,像弧長的公式那樣。 是這一小段的(重心的)路徑。

如果曲線的方程是y = f(x),axb,則積分變為:

 (繞着x軸旋轉),
 (繞着y軸旋轉)。

這可以由以上的公式推出。

例如,單位半徑的球面由曲線x(t) = sin(t),y(t) = cos(t)旋轉而得,其中 。所以,它的面積為:

 

對於半徑為r的圓 繞着x軸旋轉所得的曲面,

 
 
 
 

參見

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參考文獻

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  • Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985.
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  • Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992.