旋量叢

在數學與物理學中，旋量是與物理自旋理論以及數學中克利福德代數密切相關的某種幾何實體，在某種意義上是一種扭曲的張量。從幾何觀點來看，所有旋量構成旋量叢（spinor bundle）。

給定一個可微流形 M，配有一個符號為 (p,q) 的度量，M 上一個旋量叢是 M 上向量叢使其纖維是

Spin(p,q)

的一個旋量表示。這裏 Spin(p,q) 是特殊正交群 SO(p,q) 單位分支的二重覆蓋。

旋量叢由向量叢 V 上繼承一個聯絡（參見自旋聯絡）。

當

p + q ≤ 3

時，可能有正交群的其它覆蓋群，從而有其它叢（任意子叢）。

相伴叢

相伴叢語言在表達旋量叢的意義是有用的。自旋結構（spin structure）的存在是實向量空間上額外的信息。

這裏涉及了兩個群 SO 與 Spin（對給定的符號 $(p,q)$），前者有一個忠實的 $n=p+q$ 維矩陣表示，但後者（一般）只忠實的作用在更高維的旋量空間。Spin 是 SO 單位分支的二重覆蓋，所以後者是前者的一個商（如果 p 和 q 都不是零，則特殊正交群有兩個分支，而自旋群 Spin 只有一個）。這意味着取值於 Spin 的轉移數據自動給出 SO 的轉移數據：轉到商群失去了一些信息。

從而一個 Spin-叢總給出一個相伴以 $\mathbb {R} ^{n}$ 為纖維的叢，因為 Spin 通過其商 SO 作用在 $\mathbb {R} ^{n}$ 上。反過來，對 SO-叢有一個提升問題：要變成一個 Spin-叢，在轉移數據上有一個一致性問題。已經知道這個提升的阻礙是第二斯蒂弗爾-惠特尼類（ Stiefel-Whitney class）。