有限交集性質

在點集拓撲學中，有限交集性質是集合 X 的子集的集合（子集族，即冪集$P(X)$ 的子集）的性質。一個集合有這個性質如果這個集合的任何有限個子集的交集為非空。

定義

設 $X$ 是集合，帶有 $A=\{A_{i}\}_{i\in I}$ 是 $X$ 的子集族。則集合 $A$ 有有限交集性質（fip），如果任何有限子集合 $J\subset I$ 都有非空交集 $\bigcap _{i\in J}A_{i}$。

討論

這個條件被平凡的滿足，如果在整個搜集上的交集非空（特別是如果這個搜集自身是空的）；它還被平凡的滿足，如果這個搜集是嵌套的，這意味着對於任何有限子搜集，這個子搜集的特定元素被包含在這個子搜集的所有其他元素中，比如嵌套的區間序列

(0, 1/n)。

有限交集性質可用於公式化緊緻性的可供替代的定義：一個空間是緊緻的，當且僅當所有滿足有限交集性質的閉集的搜集自身都有非空交集。。這個緊緻性的公式化用於吉洪諾夫定理和實數的不可數性的一些證明中。

例子

例如濾子通過定義有有限交集性質。

定理

設 $X\neq \emptyset$, $F\subseteq 2^{X}$，F 有有限交集性質。則存在一個 $F^{\prime }$ 超濾子（在 $2^{X}$ 中）使得 $F\subseteq F^{\prime }$。詳細證明參見 。

變體

集族 A 有強有限交集性質(sfip)，如果所有 A 的有限子集族有有限交集。

引用

• Finite intersection property. PlanetMath.