柯里悖論

柯里悖論（英語：Curry's paradox）是一種悖論，由美國數理邏輯學家哈斯凱爾·柯里提出，並且以其命名。它也與馬丁·雨果·洛布的洛布定理有關，故也被稱為洛布悖論。

簡介

對於這樣一個條件語句C：「若C，則F」，只需要一些顯然無害的邏輯推導規則，就可以推導出：僅從句子C的存在就證明了任意主張F。由於F是任意的，因此遵循這些邏輯規則的任何邏輯系統都可以證明所有命題，這就引起矛盾（見：柯里悖論#自然語言論證），違反了經典邏輯的無矛盾律；因此，這是一個悖論。

當今哲學家所使用的「柯里悖論」一詞，指的是一類多樣化的悖論，具有自指性（self-reference）或循環性（circularity），並且其悖論根源的發現可追溯到柯里（1942）和洛布（1955）的貢獻。

該悖論可以用自然語言和各種形式邏輯來表達，包括集合論、λ演算和組合子邏輯的某些形式。所有可以稱為「柯里悖論」的悖論共同特徵是，它們以連接詞或謂詞形式利用蘊涵，蘊含或結果的概念。

分類

弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊於1925年最早把邏輯悖論（Logical Paradox）同語義悖論（Semantical Paradox）區別開來。羅素悖論屬於前一類，說謊者悖論屬於後者。拉姆齊認為，邏輯矛盾涉及數學或邏輯術語（例如類，數），因此表明存在邏輯問題。而語義矛盾除純邏輯術語外還涉及「思想」，「語言」，「符號」等概念，它們是經驗性（非形式）術語。語義矛盾也被稱為認識論矛盾。該方法被認為是當前的標準的悖論分類方法。

柯里悖論可以像羅素悖論一樣，以集合論或屬性論的悖論的形式出現（即邏輯悖論的形式）;但是，它也可以是類似於說謊者悖論的語義悖論的形式出現。

特性

柯里悖論產生的根源和柯里悖論與羅素悖論和說謊者悖論類似，是違反了惡性循環原則，具有自指性。但也與柯里悖論與羅素悖論和說謊者悖論有不同的特點，因為它本質上並沒有涉及否定的概念。

需要強調，因為柯里悖論並不在「本質上涉及否定」，它與羅素悖論和說謊者悖論有實質性不同。一些具有弱否定原理的非經典邏輯（如次協調邏輯），可以解決羅素悖論和說謊者悖論，但仍然容易受到柯里悖論的影響。

自然語言論證

條件命題形式為:

「如果A，則B」

證明條件命題（命題形式為：「如果A，那麼B」）的標準方法稱為「條件證明」。在該證明方法中，為了證明「如果A，則B」，首先假設A，然後在該假設下B被證明是正確的。

柯里悖論使用一種特殊的自指條件命題（self-referential conditional sentence），如以下示例所示：

句子X為：「如果X，則Y」。

按上面標準方法（條件證明），證明條件命題X時，首先假設X成立，由條件命題本身「如果X，則Y」，則「Y」成立；因此推導出，X成立。由於「Y」是任意的，也可以用任何其他命題代替，因此，僅使用公認的邏輯推理方法，每個命題似乎都是可以證明的。不但可以證明Y，亦可以證明¬Y，這種情況是自相矛盾的。

另一個例子如下：

如果這句話是正確的，那麼德國與中國接壤。

儘管德國沒有與中國接壤，但例句當然是自然語言的句子，因此可以分析該句子的真實性。悖論來自此分析，分析包括下面兩個步驟:

1. 首先，可以使用上面的標準方法（條件證明）證明例句是正確的。
2. 其次，例句可以用來證明德國與中國接壤。因為德國不與中國接壤，所以這表明其中一個證據有誤。

「德國與中國接壤」的命題可以用任何其他命題F代替，並且該命題F仍然可以被證明。

形式證明

命題邏輯證明

上一節中的示例使用了非形式化的自然語言推理。柯里悖論也出現在某些形式邏輯中。在這種情況下，它表明，如果我們假設存在一個形式句子（X → Y），其中X本身相當於（X → Y），那麼我們可以用形式證明來證明Y。有關本節中使用的邏輯符號的說明，請參閱邏輯符號表。用命題邏輯的形式證明如下：

1. X := (X → Y)
   訂立假設，證明的開始，相當於「如果這句話為真，則Y」
2. X → X
   同一律
3. X → (X → Y)
   根據1，X等於X → Y；所以用X → Y替換 2 的右側
4. X → Y
   從 3 通過緊縮規則（蘊含的冪等性）
5. X
   將 4 替換為 1
6. Y
   根據5和4並通過肯定前件規則

另一種證明是通過皮爾士定律。如果X = X → Y，則(X → Y) → X。根據皮爾士定律((X → Y) → X) → X和肯定前件規則，意味着X和隨後的Y（如上面的證明）。

相關條目

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• 次協調邏輯
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