樣本變異數

樣本變異數是依據所給樣本對隨機變量的變異數做出的一個估計。

定義

設 $X_{1},\cdots ,X_{n}$ 是隨機變量 $X$ 的 $n$ 個樣本，則樣本變異數定義為：

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

其中 ${\bar {X}}$ 為樣本均值。

根據該定義，可以得出：

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}(\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}).$

不偏性

若隨機變量 $X$ 的期望值為 $\mu$、變異數為 $\sigma ^{2}$，則樣本變異數的期望值滿足：

$\operatorname {E} (s^{2})={\frac {1}{n-1}}{\big [}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}^{2})-n\operatorname {E} ({\bar {X}}^{2}){\big ]}={\frac {1}{n-1}}{\big [}\sum _{i=1}^{n}(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-n({\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2}){\big ]}=\sigma ^{2}$

即樣本變異數是母體變異數的不偏估計。

樣本變異數的定義中，分母的值為$n-1$而非$n$，一個重要原因即是這樣定義的樣本變異數是母體變異數的不偏估計。這被稱為自由度修正。

樣本變異數的分佈

樣本變異數作為隨機變量的（可測）函數，其本身也是一個隨機變量。在某些特殊情況下樣本變異數的分佈是已知的。例如，若$X_{1},\cdots ,X_{n}$是獨立同分佈的正態隨機變量，均值和變異數為$\mu$和$\sigma ^{2}$，則$(n-1)s^{2}/\sigma ^{2}$服從自由度為$n-1$的卡方分佈。