歐幾里得整環

在抽象代數中，歐幾里得整環（Euclidean domain）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。

定義

一個歐幾里得整環是一整環 $D$ 及函數 $v:D\setminus \{0\}\to \mathbb {N} \cup \{0\}$，使之滿足下述性質：

• 若 $a,b\in D$ 而 $b\neq 0$，則存在 $q,r\in D$ 使得 $a=bq+r$，而且 $r=0$，或者 $v(r)<v(b)$。
• 若 $a$ 整除 $b$，則 $v(a)\leq v(b)$。

函數 $v$ 可設想成元素大小的量度，當 $D=\mathbb {Z}$ 時可取 $v(x):=|x|$。

例子

歐幾理得整環的例子包括了：

• 整數環 $\mathbb {Z}$，$v(x)=|x|$。
• 高斯整數環 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$。
• 域上的多項式環（$v(f)=\deg f$）與冪級數環（$v(f)$ 定義為使 $X^{n}|f(X)$ 的最大非負整數 $n$）。
• 離散賦值環，$v(x)$ 定義為使 $x\in {\mathfrak {m}}^{n}$ 的最大非負整數 $n$，其中 ${\mathfrak {m}}$ 表該離散賦值環的唯一極大理想。

利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里得環必為主理想環，此時理想由其中 $v$-值最小的元素生成。由此得到一個推論：歐幾里得整環必為唯一分解環。

並非所有主理想環都是歐幾里得整環，Motzkin 證明了 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 的整數環在 $d=-19,-43,-67,-163$ 時並非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。

文獻

• Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
• Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
• Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76