移動沙發問題

未解決的數學問題：能通過單位寬度的L形平面通道的剛性二維形狀的最大面積是多少？

移動沙發問題，又稱沙發問題，是一個數學問題。這一問題來源於現實生活中推沙發過走廊情景的二維理想化，其內容為求出能通過單位寬度的L形平面通道的剛性二維形狀的最大面積A。^[1]這一最大面積A被稱為沙發常數。沙發常數的確切值至今尚未求出。2024年11月，Jineon Baek發佈了一份arXiv預印本，聲稱證明了約瑟夫·熱弗提出的解為最優解，如果屬實，將解決移動沙發問題。^[2]

歷史

1966年，奧地利裔加拿大數學家李奧·莫澤最早在正式刊物上提出這一問題。不過在此之前，這一問題已在非正式的場合被多次討論過。^[1]

上下界

現有的研究已經給出了沙發常數的上下界。

下界

哈默斯利沙發的面積為2.2074，但並非最大解

熱弗沙發由18個曲線部分圍成，面積為2.2195

該問題的一個顯而易見的下界是 $A\geq \pi /2\approx 1.57$ ，即單位半徑半圓盤沙發的面積。這種形狀的沙發可以在L型通道的拐角處旋轉90度後通過。

數學家約翰·哈默斯利（英語：John Hammersley）根據上面這種最簡單的情形推導出了一種類似形狀的沙發，將下界提高到了 $A\geq \pi /2+2/\pi \approx 2.2074$ 。這種沙發狀如電話聽筒，由一個長為 $4/\pi$ ，寬為1的矩形的長邊上挖去一個半徑為 $2/\pi$ 的半圓，再在其兩條短邊上各接一個單位半徑的四分之一圓盤得到。^[3]^[4]

1992年，羅格斯大學的約瑟夫·熱弗提出了一種由18條光滑曲線圍成的沙發，將沙發常數的下限增加到大約2.2195。^[5]^[6]

2014年，業餘數學家菲利普·吉布斯通過計算機演算得到了一種最優沙發，其形狀與熱弗沙發無法區分，計算出的面積值在八位有效數字下相等。^[7]這說明熱弗沙發可能是問題的最優解，不過這一點尚未得到數學上的證明。

上界

哈默斯利求得的沙發常數上界為 $2{\sqrt {2}}\approx 2.8284$ 。^[1]^[8]

2017年6月，約夫·卡盧斯和丹·魯米克證明了沙發常數不大於2.37。^[9]

雙靈活沙發

魯米克雙靈活沙發

沙發問題的一個變體是：求出能夠通過兩個拐角均為直角的單位寬度之字形走廊的剛性二維形狀的最大面積。對這個問題，丹·魯米克設計了一種同樣由18個曲線部分組成的「雙靈活沙發」，得出這一問題的下界為1.64495521。^[10]^[11]

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Wagner, Neal R. The Sofa Problem (PDF). The American Mathematical Monthly. 1976, 83 (3): 188–189 [2022-04-17]. JSTOR 2977022. doi:10.2307/2977022. （原始內容 (PDF)存檔於2015-04-20）.
^ Baek, Jineon. Optimality of Gerver's Sofa. 2024-11-29. arXiv:2411.19826  [math.MG].
^ Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. Halmos, Paul R. , 編. Unsolved Problems in Geometry . Problem Books in Mathematics; Unsolved Problems in Intuitive Mathematics II. Springer-Verlag. 1994 [2013-04-24]. ISBN 978-0-387-97506-1.
^ Finch, Steven, Moving Sofa Constant, Mathcad Library (includes a diagram of Gerver's sofa).
^ Gerver, Joseph L. On Moving a Sofa Around a Corner. Geometriae Dedicata. 1992, 42 (3): 267–283. ISSN 0046-5755. S2CID 119520847. doi:10.1007/BF02414066.
^ Weisstein, Eric W. (編). Moving sofa problem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ Gibbs, Philip, A Computational Study of Sofas and Cars. [2022-04-17]. （原始內容存檔於2022-04-17）.
^ Stewart, Ian. Another Fine Math You've Got Me Into.... Mineola, N.Y.: Dover Publications. January 2004 [2013-04-24]. ISBN 0486431819. （原始內容存檔於2021-06-21）.
^ Kallus, Yoav; Romik, Dan. Improved upper bounds in the moving sofa problem. Advances in Mathematics. December 2018, 340: 960–982. ISSN 0001-8708. S2CID 5844665. arXiv:1706.06630  . doi:10.1016/j.aim.2018.10.022.
^ Romik, Dan. Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem. Experimental Mathematics. 2017, 26 (2): 316–330. S2CID 15169264. arXiv:1606.08111  . doi:10.1080/10586458.2016.1270858.
^ Romik, Dan. The moving sofa problem - Dan Romik's home page. UCDavis. [2017-03-26]. （原始內容存檔於2022-01-10）.

外部連結

Romik, Dan. The Moving Sofa Problem (視頻). YouTube. Brady Haran. 2017-03-23 [2017-03-24]. （原始內容存檔於2021-12-21）.
SofaBounds 計算沙發移動問題邊界的程序（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
魯米克雙靈活沙發的三維模型（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[Neal_Wagner-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Wagner, Neal R. The Sofa Problem (PDF). The American Mathematical Monthly. 1976, 83 (3): 188–189 [2022-04-17]. JSTOR 2977022. doi:10.2307/2977022. （原始內容 (PDF)存檔於2015-04-20）.

[Jineon_Baek-2] Baek, Jineon. Optimality of Gerver's Sofa. 2024-11-29. arXiv:2411.19826  [math.MG].

[3] Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. Halmos, Paul R. , 編. Unsolved Problems in Geometry . Problem Books in Mathematics; Unsolved Problems in Intuitive Mathematics II. Springer-Verlag. 1994 [2013-04-24]. ISBN 978-0-387-97506-1.

[4] Finch, Steven, Moving Sofa Constant, Mathcad Library (includes a diagram of Gerver's sofa).

[5] Gerver, Joseph L. On Moving a Sofa Around a Corner. Geometriae Dedicata. 1992, 42 (3): 267–283. ISSN 0046-5755. S2CID 119520847. doi:10.1007/BF02414066.

[6] Weisstein, Eric W. (編). Moving sofa problem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[7] Gibbs, Philip, A Computational Study of Sofas and Cars. [2022-04-17]. （原始內容存檔於2022-04-17）.

[8] Stewart, Ian. Another Fine Math You've Got Me Into.... Mineola, N.Y.: Dover Publications. January 2004 [2013-04-24]. ISBN 0486431819. （原始內容存檔於2021-06-21）.

[9] Kallus, Yoav; Romik, Dan. Improved upper bounds in the moving sofa problem. Advances in Mathematics. December 2018, 340: 960–982. ISSN 0001-8708. S2CID 5844665. arXiv:1706.06630  . doi:10.1016/j.aim.2018.10.022.

[Dan_Romik-10] Romik, Dan. Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem. Experimental Mathematics. 2017, 26 (2): 316–330. S2CID 15169264. arXiv:1606.08111  . doi:10.1080/10586458.2016.1270858.

[UCDavis-11] Romik, Dan. The moving sofa problem - Dan Romik's home page. UCDavis. [2017-03-26]. （原始內容存檔於2022-01-10）.

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