笛卡兒符號法則

笛卡兒符號法則，首先由笛卡兒在他的作品La Géométrie中描述，是一個用於確定多項式的正根或負根的個數的方法。

如果把一元實係數多項式按降冪方式排列，則多項式的正根的個數等於相鄰的非零係數的符號的變化次數，或者比它依次小2的整倍數；而負根的個數則是把所有奇數次項的係數變號以後，所得到的多項式的符號的變化次數，或者比它小2的整倍數。

例如，以下的多項式

$x^{3}+x^{2}-x-1\,$

在第二項和第三項有一個符號變化。因此它正好有一個正根。實際上，我們可以看到，這個多項式可以分解為：

$(x+1)^{2}(x-1),\,$

因此它的根為−1（二重根）和1。

把奇數次項變號，可得：

$-x^{3}+x^{2}+x-1.\,$

這個多項式有兩個符號變化，因此這個多項式有2個或0個正根，原來的多項式有2個或0個負根。這個多項式可以分解為：

$-(x-1)^{2}(x+1),\,$

因此根為1（二重根）和−1。

特殊情況

注意如果知道了多項式只有實數根，則利用這個方法可以完全確定正根的個數。由於零根的重複度很容易計算，因此也可以求出負根的個數。於是所有根的符號都可以確定。

參見

• 施圖姆定理

外部連結

• 笛卡兒符號法則 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） — 方法的證明

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