等對角線四邊形

在歐幾里得幾何中，等對角線四邊形（英語：Equidiagonal quadrilateral，也稱為等軸四邊形）是指對角線長相等的凸四邊形。等軸四邊形是古印度數學中的重要概念，古印度數學家把四邊形先分為等軸和非等軸，再往下分類。換句話說，就是將等腰梯形、矩形等分為一類，直角梯形、菱形等分為另一類。

等軸四邊形，紅色為對角線，藍色為雙中線，其伐里農平行四邊形為菱形

特殊例子

等對角線四邊形包含等腰梯形、矩形和正方形。

周長-直徑比最大的等軸鷂形內接於勒洛三角形。

周長-直徑比最大的四邊形是內角為π/3、5π/12、5π/6和5π/12的等軸鷂形。

特徵

當且僅當凸四邊形的伐里農平行四邊形（由四邊的中點連接而成的平行四邊形）為菱形，則它是等對角線的，相當於此凸四邊形的雙中線（伐里農平行四邊形的對角線）互相垂直。

設某凸四邊形的對角線長度為$p$和$q$，雙中線長度$m$和$n$，則它是等對角線的，當且僅當

$pq=m^{2}+n^{2}.$

面積

等對角線四邊形的面積K可以用其雙中線長度m和n求出。某四邊形是等對角線的，當且僅當

$\displaystyle K=mn.$

這是因為凸四邊形的面積是其伐里農平行四邊形的兩倍，以及此平行四邊形的對角線是此凸四邊形的雙中線。根據雙中線長度的公式，等對角線四邊形的面積可以用四邊邊長$a$、$b$、$c$和$d$以及對角線中點的距離$x$表示：

$K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.$

在凸四邊形的面積公式中設p = q，也可以得到其他面積公式。

與其它四邊形的關係

當且僅當平行四邊形是矩形，則它是等對角線的

等對角線四邊形和正交四邊形有對偶關係，當且僅當四邊形的伐里農平行四邊形是正交的（菱形），則它是等軸的；當且僅當它的伐里農平行四邊形是等軸的（矩形），則它是正交的。換言之，當且僅當四邊形的雙中線互相垂直，則它的對角線相等；當且僅當四邊形的雙中線互相相等，則它的對角線互相垂直。

等腰梯形

對角線相等的圓外切四邊形必定是圓外切等腰梯形

通過全等三角形（SSS），易證當且僅當梯形是等腰梯形時，則它的對角線相等。同樣，通過全等三角形（SAS）易得圓內接四邊形對角線相等時必定是等腰梯形。

圓外切四邊形的對角線長p, q與四個頂點出發的切線長e, f, g, h的關係為 ：

$\displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},$

$\displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}.$

當p=q時，兩邊平方，相減後可得$e+h=f+g$，暨一對對邊長相等，通過全等三角形（SSS）可得其為等腰梯形，暨對角線相等的圓外切四邊形必定是圓外切等腰梯形。

中方四邊形

在所有四邊形中，等軸正交四邊形（對角線的長度大於或等於所有邊）的直徑-面積比最高，所以是最大面積最小直徑四邊形問題中n = 4的解。正方形是其中一例，但此類四邊形有無限個。等軸正交四邊形也稱作中方四邊形（英語：midsquare quadrilateral），因為它們是唯一一種伐里農平行四邊形為正方形的四邊形。設此類四邊形的相鄰邊長為$a$、$b$、$c$和$d$，則其面積等於

$K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right)$

中方平行四邊形即是正方形。

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  一般中方四邊形
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  中方梯形
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  中方鷂形
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  「中方平行四邊形」：正方形