等效位能

等效位能是將許多效應綜合成單一位能的數學表達式。在古典力學中，等效位能即為離心力位能與位能的和。等效位能常被用來計算行星的軌道及半古典的原子計算，可用來降低問題的維度。

定義

等效位能 $U_{\text{eff}}$ 可定義如下：

$U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+U(\mathbf {r} )$

L 為角動量。

r 為兩物體之距離。

m 為繞行物體之質量。

U(r) 為位能。

等效力，也就是等效位能的梯度取負號則為：

${\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{mr^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}$

其中 ${\hat {\mathbf {r} }}$ 為r方向的單位向量。

特性

等效位能有許多有用的特性：

$U_{\text{eff}}\leq E$

要找到一個圓形軌道的半徑，我們只要將等效位能對r取最小值，或是找$r_{0}$使總力為0：

${\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0$

在解出$r_{0}$後，代回$U_{\text{eff}}$以求等效位能之最大值$U_{\text{eff}}^{\text{max}}$。

也可求得微小振盪之頻率：

$\omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}}$

其中角分符號代表對r的微分。

例子：重力位能

以質量為m的小天體繞行質量為M的大天體為例，並假設M遠大於m。在牛頓力學中，大天體的運動可被忽略，且能量E及角動量L守恆：

$E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},$

$L=mr^{2}{\dot {\phi }}\,$

其中

${\dot {r}}$ 為r對時間的微分，

${\dot {\phi }}$ 為小天體之角速度，

G 為重力常數。

因為整個運動發生在一平面，所以我們只需要兩個變數r及$\phi$。將第二個式子代回第一個式子，整理之後可得

$m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),$

${\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),$

其中

$U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}$

即為等效位能。 如同上式所述，原問題的兩個變數被化簡成單變數的問題。在許多應用中，等效位能可視為一維系統的位能，譬如說用等效位能來決定轉折點及穩定平衡區。類似的方法可用來決定廣義相對論中史瓦西度規的軌道。

參考資料

• José, JV; Saletan, EJ. Classical Dynamics: A Contemporary Approach 1st. Cambridge University Press. 1998. ISBN 0-521-63636-1. .

• Likos, C.N.; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M.; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; et al. Gaussian effective interaction between flexible dendrimers of fourth generation: a theoretical and experimental study. J. Chem. Phys. 2002, 117 (4): 1869–1877. Bibcode:2002JChPh.117.1869L. doi:10.1063/1.1486209. （原始內容存檔於2011-07-19）.  引文格式1維護：顯式使用等標籤 (link)

• Baeurle, S.A.; Kroener J. Modeling Effective Interactions of Micellar Aggregates of Ionic Surfactants with the Gauss-Core Potential. J. Math. Chem. 2004, 36 (4): 409–421. doi:10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb. 

• Likos, C.N. Effective interactions in soft condensed matter physics. Physics Reports. 2001, 348 (4–5): 267–439 [2015-07-23]. Bibcode:2001PhR...348..267L. doi:10.1016/S0370-1573(00)00141-1. （原始內容存檔於2013-02-01）.