線叢
數學中,線叢(line bundle)表達了空間中在點之間變化的直線的概念。例如,平面中的曲線在每一點都有一條切線,這就確定了一條變化的直線:切叢是組織它們的一種方式。代數拓撲和微分拓撲中,線叢更正式的定義是秩為1的向量叢。[1]
為空間中的每一點連續地選擇一個1維向量空間,便確定了線叢。在拓撲學的應用中,這個向量空間通常是實或復的,而由於實向量空間與復向量空間的拓撲性質不同,兩種選擇將表現出根本上不同的行為:剔去實數線上的原點,就得到可逆1階實方陣的集合。將正負實數分別收縮為一點,便可見它同倫等價於離散兩點空間;而剔去複平面上的原點,就得到可逆1階復矩陣的集合,與圓同倫等價。
因此從同倫論的角度看,實線叢的行為與具有兩點纖維(two-point fiber)的纖維叢(即雙覆蓋)基本相同。微分流形的有向雙覆蓋是特例,對應的線叢是切叢的行列式叢(下詳)。莫比烏斯帶對應圓的雙覆蓋(θ → 2θ映射),改變纖維也可將其視作具有兩點纖維、作為纖維的單位區間或實數線。 複線叢與圓叢密切相關。有些著名的複線叢,如球面到球面的霍普夫纖維化。
線叢由滿足以下條件的除子產生:
(I) X是既約不可約概形,則每個線叢都來自一個除子
(II) X是射影概形,則同樣成立
射影空間上的重言線叢
編輯代數幾何中最重要的線叢之一是射影空間上的重言線叢。域k上向量空間V的射影化 定義為對乘法群 作用的商 ,因此 的每一點都對應一份 ,可以構成 上的 -叢。 與k只差一個點,將該點與每條纖維鄰接(adjoin),就得到了 上的線叢,稱作重言線叢(tautological line bundle),有時記作 ,因為它對應於塞雷扭轉層 的對偶。
映射到射影空間
編輯設X是空間,L是X上的線叢。L的全局截面是函數 ,使得若 是自然射影,則 。在X中L為平凡的小鄰域U內,線叢的總空間是U與底域k的積,截面s限制到函數 。而s的值取決於平凡化的選擇,因此它們只取決於無處為0函數的乘法。 全局截面以如下方式確定到射影空間的映射:在L的某纖維中擇 個不全為0的點,就能選擇出 上重言線叢的纖維,因此選擇L的 個不同時為0的全局截面,就確定了X到射影空間 的映射。這個映射將L的纖維發送到重言叢的對偶的纖維。更具體地說,假設L的全局截面是 ,則在X的小鄰域U內,這些截面確定了U上的k值函數,具體取值取決於平凡化的選擇。不過,它們取決於同非零函數的同時乘法,因此其比是良定義的。也就是說,點x上的值 不是良定義的,因為平凡化的改變會使它們各自乘一個非零常數λ;而只要截面 不在x同時取0,就會使它們乘以同一個常數,於是齊次坐標>math>s_0(x):\ \dots\ :s_r(x)]</math>良定義。因此,若截面不同時為0,則它們確定的形式 就給出X到 的映射,映射下重言叢的對偶的拉回是L。這樣,射影空間就獲得了一個泛性質。
確定到射影空間的映射,通用方法是映射到L所有截面的向量空間的射影化。拓撲情形中,每點都有不為0的截面,可用在小鄰域之外為0的衝擊函數(bump function)構造,這樣得到的映射是處處定義的。然而到達域通常太大,沒什麼用。代數和全純集情形則恰好相反:全局截面的空間通常是有限維的,但點上可能不存在任何非零全局截面(如此例中構造了一個萊夫謝茨鉛筆)。事實上,叢有可能完全沒有非零全局截面,如重言線叢。線叢足夠豐沛時,這構造就驗證了小平嵌入定理。
行列式叢
編輯一般來說,若V是空間X上的向量叢、纖維維數恆為n,則V的n次纖維-纖維外冪是線叢,稱作行列式線叢(determinant line bundle)。這種構造尤其適用於光滑流形的餘切叢,得到的行列式叢是張量密度現象的根源,因為對有向流形,其有非零的全局截面,且張量冪的任意實指數都可定義,並通過張量積「扭曲」任意向量叢。
示性類、萬有叢與分類空間
編輯第一施蒂費爾–惠特尼類分類了光滑實線叢。特別地,實線叢的(等價類的)集合對應於第一上同調的係數為 的元素。這種對應關係實際上是阿貝爾群同構(群運算是線叢的張量積與上同調上的普通加法)。類似,第一陳類分類了空間上的光滑複線叢,線叢群同構於係數為整數的第二上同調類。然而,叢可以有等價的光滑結構(於是有相同的第一陳類),而具有不同的全純結構。利用流形上層的指數序列,可以很容易地證明陳類的陳述。
可以從同倫論角度更普遍地看待分類問題。實線叢和複線叢都有萬有叢(universal bundle),根據分類空間的一般理論,啟發式方法是尋找可收縮空間,其上各自的群 、 的群作用是自由作用。這些空間可作為萬有主叢,作用的商則可作為分類空間BG。這些情形下,可在實、復射影空間的無限維類似空間中明確地找到這些空間。 因此,分類空間 屬於 的同倫類, 是由齊次坐標的無限序列給出的實射影空間,攜帶着萬有實線叢;從同倫論角度看,這意味着CW復形X上的任何實線叢L都確定了X到 的分類映射,使L同構於萬有叢的拉回。這一分類映射可用於從 上的標準類定義X的係數屬於 的第一上同調中L的施蒂費爾–惠特尼類。
類似地,復射影空間 攜帶有萬有複線叢。這時,分類映射會在 (積分上同調)中產生X的第一陳類。
還有一種與四元數線叢(實維度4)類似的理論,產生了實4維上同調中的龐特里亞金類中的一個。
另見
編輯註釋
編輯- ^ Hartshorne. Algebraic Geometry, Arcata 1974. 1975: 7.
參考文獻
編輯- Michael Murray, Line Bundles, 2002 (PDF web link)
- Robin Hartshorne. Algebraic geometry. AMS Bookstore, 1975. ISBN 978-0-8218-1429-1