羅伊恆等式

羅伊恆等式（Roy's identity）是微觀經濟學中的一項重要結果，在生產者理論和消費者理論中都有應用。

具體表述

設消費者的間接功用函數為$v(\mathbf {p} ,w)$，則商品$i$的馬歇爾需求函數即為

$x_{i}^{m}=-{\frac {\partial v/\partial p_{i}}{\partial v/\partial w}}$，

其中$\mathbf {p}$為各商品的價格向量，$w$為收入。

證明

根據定義，間接功用函數滿足約束條件$\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} =w$下的最大值$v(\mathbf {p} ,w)=\max _{\mathbf {x} }u(\mathbf {x} )$。因此由帶約束的包絡定理立即得到

${\frac {\partial v}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {p} }}=-\lambda \mathbf {x}$，

其中${\mathcal {L}}=u(\mathbf {x} )-\lambda (\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -w)$為拉格朗日乘數，由其表達式可得$\lambda ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w}}={\frac {\partial v}{\partial w}}$，代入上式即得證。

參見

• 薛福輔理