置換矩陣

在數學中的矩陣論裏，置換矩陣（英語：permutation matrix）是一種係數只由0和1組成的方塊矩陣。置換矩陣的每一行和每一列都恰好有一個1，其餘元素都是0。在線性代數中，每個n階的置換矩陣都代表了一個對n個元素（n維空間的基）的置換。當一個矩陣乘上一個置換矩陣時，所得到的是原來矩陣的橫行（置換矩陣在左）或縱列（置換矩陣在右）經過置換後得到的矩陣。

嚴格定義

每個n元置換都對應着唯一的一個置換矩陣。設π 為一個n元置換：

$\pi :\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,n\rbrace$

給出其映射圖：

${\begin{bmatrix}1&2&\cdots &n\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (n)\end{bmatrix}}$

它對應的n × n的置換矩陣P_π是：在第i橫行只有π(i)位置上係數為1，其餘為0。即可以寫做：

$P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}$

其中每個$\mathbf {e} _{j}$表示正則基中的第j個，也就是一個左起第j個元素為1，其餘都是0的n元橫排數組。

由於單位矩陣是

$I={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}$

置換矩陣也可以定義為單位矩陣的某些行和列交換後得到的矩陣。

性質

對兩個n元置換π 和 σ的置換矩陣P_π 和P_σ，有

$P_{\pi }P_{\sigma }=P_{\sigma \circ \pi }$

一個置換矩陣P_π 必然是正交矩陣（即滿足$P_{\pi }P_{\pi }^{T}=I$），並且它的逆也是置換矩陣：

$P_{\pi }^{-1}=P_{\pi ^{-1}}=P_{\pi }^{T}$

用置換矩陣$P_{\pi }$右乘一個列向量 g所得到的是 g 的係數經過置換後的向量：

$P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{\pi (1)}\\g_{\pi (2)}\\\vdots \\g_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.$

用置換矩陣$P_{\pi }$左乘一個行向量 h 所得到的是 h 的係數經過置換後的向量：

$\mathbf {h} P_{\pi }={\begin{bmatrix}h_{1}\;h_{2}\;\dots \;h_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{\pi ^{-1}(1)}\;h_{\pi ^{-1}(2)}\;\dots \;h_{\pi ^{-1}(n)}\end{bmatrix}}$

置換矩陣與置換

設S_n是n次對稱群，由於n置換一共有n! 個，n階的置換矩陣也有n! 個。這n! 個置換矩陣構成一個關於矩陣乘法的群。這個群的單位元就是單位矩陣。設A是所有n階的置換矩陣的集合。映射S_n → A ⊂ GL(n, Z₂)是一個群的忠實表示。

對一個置換σ，其對應的置換矩陣P_σ是將單位矩陣的橫行進行 σ 置換，或者將單位矩陣的橫行進行 σ⁻¹ 置換得到的矩陣。

置換矩陣是雙隨機矩陣的一種。伯克霍夫-馮·諾伊曼定理說明每個雙隨機矩陣都是同階的置換矩陣的凸組合，並且所有的置換矩陣構成了雙隨機矩陣集合的所有端點。

置換矩陣P_σ的跡數等於相應置換σ的不動點的個數。設 a₁、a₂、……、a_k 為其不動點的序號，則e_a1、e_a2、……、e_ak 是P_σ的特徵向量。

由群論可以知道，每個置換都可以寫成若干個對換的複合。由此可知，置換矩陣P_σ都可以寫成若干個表示兩行交換的初等矩陣的乘積。P_σ的行列式就等於 σ 的符號差。

例子

對應於置換π = (1 4 2 5 3)的置換矩陣P_π 是

$P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{4}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{5}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.$

給定一個向量 g，

$P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\\g_{4}\\g_{5}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{4}\\g_{2}\\g_{5}\\g_{3}\end{bmatrix}}.$

推廣

置換矩陣概念的一個推廣是將方陣的情況推廣到一般矩陣的情況：

一個m×n的0-1矩陣 P 是置換矩陣若且唯若 $P\cdot P^{T}=I_{m}$

這時一個0-1矩陣是置換矩陣若且唯若它的每一行恰有一個1，每一列至多有一個1。

置換矩陣概念的另一個推廣是將每行的1變為一個非零的實數：

一個n階的方塊矩陣 P 是置換矩陣若且唯若其每一行與每一列都恰好只有一個係數不為零。

這時的置換矩陣P可以看做由0和1組成的置換矩陣Q與一個對角矩陣相乘的結果。

參見

• 變號矩陣
• 廣義置換矩陣

參考資料

• 張賢達. 矩阵分析与应用. 清華大學出版社. 2004 （中文（中國大陸））. 

外部連結

• 左光紀，置換矩陣的組合合成及其圖表示
• 0-1矩陣與置換矩陣
• 置換矩陣（英文）
• 置換矩陣介紹（英文）