能量串級

在連續介質力學中，能量串級包括能量從大尺度運動到小尺度運動的傳輸（稱為正向能量串級）或能量從小尺度到大尺度的傳輸（稱為逆向能量串級）。這種不同尺度之間的能量轉移只能發生在非線性系統中。嚴格來說，串級的能量傳輸發生在局部（僅在非常接近的尺度之間），類似於水從一個水池流動到下一個臨近水池產生的層疊瀑布，而不會出現跨越整個尺度範圍的遠程傳輸。

可視化的湍流射流，使用激光誘導熒光技術製成。射流涉及多個長度尺度，這是在湍流模型中出現能量串級的先決條件。

在對完全成形的湍流的研究中，能量串級是一個重要概念。路易斯·弗萊·理查德森作於1920年代的這首詩描寫了這種現象，令人記憶深刻。能量串級對於理解波湍流理論中的波濤現象也很重要。

Big whirls have little whirls
that feed on their velocity,
And little whirls have lesser whirls
and so on to viscosity

—路易斯·弗萊·理查德森, 1922

以氣流在高層建築周圍形成的湍流為例。邊界層分離所產生的渦流蘊含能量，其大小在數十米左右。這一尺度範圍稱為含能區。在氣流下游的某處，空氣的黏度導致的耗散主要發生在柯爾莫哥洛夫微尺度上，在這個例子中也就是毫米大小。這一尺度範圍稱為耗散區。而在這兩個等級的尺度之間，沒有外力作用，黏度也不會導致明顯的耗散，卻存在非線性的，從大尺度到小尺度的淨能量傳輸。

如果含能區和耗散區之間存在很大距離，則它們之間的尺度範圍稱為慣性子區（英文：inertial subrange）。這些尺度上的運動可以通過自相似性來描述，或者通過對其統計學特徵做出假設（從而滿足湍封閉）來分析。安德雷·柯爾莫哥洛夫在1940年代開創性地推導出了對湍流慣性子區中波數譜的預測。

湍流慣性子區中的譜

在湍流能量譜中能量產生、串級、耗散的圖示。

在湍流中，最大尺度的渦流蘊含最多的動能。而黏度導致的能量的耗散主要發生在最小的渦流中。柯爾莫哥洛夫假設，當這兩種尺度之間距離很大時， 兩者之間的尺度範圍在統計學上具有各向同性，而它在達到平衡時的特徵只取決於能量在小尺度上耗散的速率。(耗散是機械能通過摩擦轉化為熱能的過程。）耗散速率 $\varepsilon$ 可以表示用湍流中波動的應變速率和流體的運動粘度 $\nu$ 表示。它的量綱是能量/(單位質量·單位時間)。達到平衡狀態時，在大尺度運動中產生湍動能的速率等於小尺度運動中耗散能量的速率。

湍流的能量譜

湍流的能量譜 $E(k)$ 取決於單位質量流體的湍動能：

${\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk.$

其中 $u_{i}$ 是波動的速度的分量，上劃線表示系綜平均值，表達式在 $i$ 上求和， $k$ 是波數。所以能量譜 $E(k)$ 表示的是位於波數 $k$ 與 $k+dk$ 之間的湍動能。較大的渦流具有較低的波數，較小的渦流具有較高的波數。

因為擴散是速度的拉普拉斯，耗散速率可以用能量譜表示：

$\varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk.$

其中 $\nu$ 是流體的運動粘度。在這條等式中可以觀察到，即使動能主要存在於低波數的運動（大渦流）中，耗散主要發生在高波數的運動（小渦流）中。

慣性子區中的能量譜

從低波數到高波數的能量傳輸稱為能量串級。它把湍能量從大尺度運動傳輸到小尺度運動，並最終被黏度耗散掉。這之間的尺度區間，即慣性子區中，由柯爾莫哥洛夫的假設可以推導出能量譜的普遍形式：

$E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.$

各類條件下的大量實驗證據都支持這一結論。在實驗中測得的數值為 $C=1.5$。

壓強波動的譜

湍流中的壓強波動也可以以類似的方式描述。湍流中壓強平方的平均值可以用壓強譜 $\pi (k)$ 來表示：

${\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.$

對於沒有平均速度梯度的湍流（各向同性湍流），慣性子區中的譜是

$\pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3}.$

其中 $\rho$ 是流體的密度，$\alpha =1.32C^{2}=2.97$。如果有平均速度梯度（剪切流)，則會在慣性子區中的譜中額外附加形如 $k^{-11/3}$ 的變化趨勢；但在較高波數的位置，形如 $k^{-7/3}$ 的變化趨勢佔據主導地位。

自由流體界面微小擾動的譜

自由流體界面下方的壓強波動可以驅動液面位移。這種自由界面-湍流相互作用也可以用波數譜來描述。如果 $\delta$ 是界面距離平均位置的瞬時位移，位移平方的平均值可以用位移譜 $G(k)$ 來表示：

${\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.$

三維形式的壓強譜可以與楊-拉普拉斯公式相結合併得出：

$G(k)\propto k^{-19/3}.$

在實驗中，這一 $k^{-19/3}$ 定律是在對無湍流射流表面的光學觀測中得出的。

參考文獻

• Chorin, A.J., Vorticity and turbulence, Applied Mathematical Sciences 103, Springer, 1994, ISBN 978-0-387-94197-4 
• Falkovich, G.; Sreenivasan, K.R., Lessons from hydrodynamic turbulence, Physics Today, 2006, 59 (4): 43–49, Bibcode:2006PhT....59d..43F, doi:10.1063/1.2207037 
• Frisch, U., Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2 
• Newell, A.C.; Rumpf, B., Wave turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 2011, 43 (1): 59–78, Bibcode:2011AnRFM..43...59N, doi:10.1146/annurev-fluid-122109-160807 
• Richardson, L.F., Weather prediction by numerical process, Cambridge University Press, 1922, OCLC 3494280