自由度 (統計學)

統計學名詞

統計學中,自由度(英語:degree of freedom, df)是指當以樣本的統計量來估計總體母數時,樣本中獨立或能自由變化的數據的個數,稱為該統計量的自由度[1]。一般來說,自由度等於獨立變量數減掉其衍生量數[2];舉例來說,方差的定義是樣本減平均值(一個由樣本決定的衍生量)的平方之和,因此對N個隨機樣本而言,其自由度為N-1[3]

數學上,自由度是一個隨機向量的維度數,也就是一個向量能被完整描述所需的最少單位向量數。舉例來說,從電腦螢幕到廚房的位移能夠用三維向量來描述,因此這個位移向量的自由度是3。自由度也通常與這些向量的座標平方和,以及卡方分佈中的母數有所關聯。

範例

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  • 若存在兩個變數 ,  ,而  那麼他的自由度為1。因為其實只有 才能真正的自由變化, 會被 選值的不同所限制。
  • 估計總體的平均數 )時,由於樣本中的 個數都是相互獨立的,任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何數值的影響,所以自由度為 
  • 估計總體的方差 )時所使用的統計量是樣本的方差 ,而 必須用到樣本平均數 來計算。 在抽樣完成後已確定,所以大小為 的樣本中只要 個數確定了,第 個數就只有一個能使樣本符合 的數值。也就是說,樣本中只有 個數可以自由變化,只要確定了這 個數,方差也就確定了。這裏,平均數 就相當於一個限制條件,由於加了這個限制條件,樣本方差 的自由度為 
  • 統計模型的自由度等於可自由取值的自變量的個數。如在迴歸方程中,如果共有 個母數需要估計,則其中包括了 個自變量(與截距對應的自變量是常數)。因此該迴歸方程的自由度為 
  • 如果用刀剖柚子,在北極點沿經線方向割3刀,得6個角。這6個角可視為3對。6個角的平均角度一定是60度。其中半邊3個角中,只會有2個可以自由選擇,一旦2個數值確定第3個角也會唯一地確定。在總和已知的情況下,切分角的個數比能夠自由切分的個數大1。

參考文獻

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  1. ^ Degrees of Freedom. "Glossary of Statistical Terms". Animated Software. [2008-08-21]. (原始內容存檔於2018-09-17). 
  2. ^ Walker, H. M. Degrees of Freedom. Journal of Educational Psychology. April 1940, 31 (4): 253–269. doi:10.1037/h0054588. 
  3. ^ Lane, David M. Degrees of Freedom. HyperStat Online. Statistics Solutions. [2008-08-21]. (原始內容存檔於2018-06-28).