分形幾何中, 計盒維數也稱為盒維數閔考斯基維數,是一種測量距離空間(X, d)(特別是豪斯多夫空間)比如歐氏空間 Rn分形維數的計算方法。

要計算分形 S 的維數,你可以想像一下把這個分形放在一個均勻分割的網格上,數一數最小需要幾個格子來覆蓋這個分形。通過對網格的逐步精化,查看所需覆蓋數目的變化,從而計算出計盒維數。

假設當格子的邊長是 ε 時,總共把空間分成 N 個格子,那麼計盒維數就是:

極限不收斂時,我們必須指出頂盒維數或底盒維數,或者說,計盒維數僅在和頂盒維數與底盒維數相等時才是有定義的。頂盒維數也稱為能量維數科莫格洛夫維數科莫格洛夫容積,或者閔考斯基上界維數,類似的可定義閔考斯基下界維數

計盒維數以及頂盒維數、底盒維數都和更常用的豪斯多夫維數有關,而且它們通常是一致的,只有在極特別的情況下才有區別。更詳細的區別參考下文。另一個分形維的度量是關聯維數英語Correlation dimension

定義的變化

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盒子可以是方的,也可以是圓的,我們可以用半徑為 ε 的球來覆蓋空間,並逐步減小球的半徑。使用球的好處是,它比方形的數學形式更簡單,並且更容易應用到更一般的距離空間,而方形僅在歐幾里德空間中才有直觀的定義。

而使用方形的格子也有它的好處,在很多情況下方格的 N (ε) 計算更簡單,並且盒子的數目和它的覆蓋數是相等的,而同樣的覆蓋數,需要更多個球。

與豪斯多夫維數的關係

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計盒維數是定義分形維的若干種方法之一。對於很多定義良好的分形來說,這些不同分數維的值是相等的。特別是當分型滿足開集條件英語Hausdorff dimension#The open set condition時,這些維數一致。比如說,對康托集來說,它的豪斯多夫維數、底盒維數、頂盒維數都等於 log(2)/log(3)。然而它們的定義是不同的。

計盒維數和豪斯多夫維數存在如下不等式:

 

一般的這兩個不等式可能是嚴格不等的。當分型在不同尺寸有着不同行為時,頂盒維數可能大於底盒維數。例如,驗證一下區間 [0,1] 中滿足以下條件的數集

對於任何 n, 所有在第 22n 位和第 22n+1 − 1 位之間(含兩端)的數字均為 0

在「奇位置區間」的數位沒有限制,例如,在第 22n+1 位和 22n+2 − 1 位間的數字沒有限制,可以取任何值。該分型的頂盒維度為 2/3 而底盒維度為 1/3。這點很容易通過計算N(ε) ( )並注意到這些值在 n 分別取奇數和偶數時表現不同來證實。

更多例子:有理數集   ,是一可數集故而其   ,但是其   因為其閉包   的維度是 1 。實際上,

 

這些例子顯示了增添可數集能改變計盒維度,揭示了這種維度的一種不穩定性。

參見

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參考

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