費馬原理
費馬原理(英語:Fermat's principle)最早由法國科學家皮埃爾·德·費馬在1662年提出:光傳播的路徑是光程取極值的路徑。這個極值可能是極大值、極小值或函數的拐點。 [1]最初提出時,又名「最短時間原理」:光線傳播的路徑是需時最少的路徑[2]。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Pierre_de_Fermat.jpg/150px-Pierre_de_Fermat.jpg)
費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」:光沿着所需時間為平穩的路徑傳播。平穩是數學上的微分概念,可以理解為一階導數為零,它可以是極大值、極小值甚至是拐點。
費馬原理是幾何光學的基本定理。用微分或變分法可以從費馬原理導出以下三個幾何光學定律:
最短光時線可以有多條,例如光線從橢圓面焦點A經過反射到另一焦點B,可以有無數條路徑,所有這些路徑的光線傳播時間都相等。
概述
編輯費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況,光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值。[1]
- 平面鏡:任意兩點的反射路徑光程是最小值。
- 半橢圓形鏡子:其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的,光程都一樣,是最大值,也是最小值。
- 半圓形鏡子:其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
- 如最右圖所示,對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子,同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。
光的反射
編輯平面反射
編輯光從P點出發射向x點,反射到Q點。
P 點到 x點的距離
Q 點 到 x 點的距離
從點P到點Q的光程 D 為
- 。
根據費馬原理,光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。
取光程 對 的導數,令其為零:
- 。
但其中
。
即
這就是反射定律
半球面反射
編輯球面的半徑=R
光線從直徑一端Q射向球面,反射到直徑另一端P
光程
因 ;
所以
根據費馬原理, D'=0
解之, 得 ,代入D得到:
光程 ,乃是一個最大值=2.8R;(最小值光程是從直徑一端到Q另一端P,光程=2R)
光的折射
編輯如右圖所示,設定介質1、介質2的折射率分別為 、 ,光線從介質1在點O傳播進入介質2,則斯涅耳定律以方程式表達為
- ;
其中, 為入射角, 為折射角。
從費馬原理,可以推導出斯涅耳定律。光線在介質1與介質2的速度 和 分別為
- 、
- ;
其中, 是真空光速。
由於介質會減緩光線的速度,折射率 和 都大於 。
從點Q到點P的傳播時間 為
- 。
根據費馬原理,光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑,取傳播時間 對 的導數,設定其為零:
- 。
其中
因此得到傳播速度與折射角的關係式:
- 。
將傳播速度與折射率的關係式代入,就會得到斯涅耳定律:
- 。
運動學
編輯白努利家族的約翰·白努利在解決最速降線問題時曾利用到費馬原理。[3]他將小球運動類比作光線的運動,從而得出最速降線為擺線。
參閱
編輯參考文獻
編輯- ^ 1.0 1.1 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英語)
- ^ Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2
- ^ http://www.guokr.com/article/22018/ (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) 復活節閒扯:一場激動人心的數學公開挑戰賽,果殼網。