連續映射定理

概率論中，連續映射定理（英語：Continuous mapping theorem）指出連續函數保持極限，即使其參數是一列隨機變量。

海涅定義下的連續函數是指將收斂數列映為收斂數列的函數：如果 $x_{n}\rightarrow x$ 那麼 $g(x_{n})\rightarrow g(x)$。連續映射定理指出，如果把確定的數列$\{x_{n}\}$替換為一列隨機變量$\{x_{n}\}$，把通常的收斂定義替換為某種隨機變量的收斂定義，那麼這個命題依然成立。 這個定理第一次由Mann & Wald (1943)證明，因此有時又被稱作Mann–Wald定理。

敍述

設$X_{n}\ (n=0,1,\ldots )$和$X$為度量空間$S$中的隨機元素，又設$g:S\to S'$為自$S$至另一個度量空間$S'$的函數，其不連續點集$D_{g}$滿足$\mathbb {P} (X\in D_{g})=0$，則：

${\begin{aligned}X_{n}\ \xrightarrow {\text{d}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{d}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\text{p}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{p}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ g(X).\end{aligned}}$

其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示依分佈收斂、依概率收斂、殆必收斂。