非交換調和分析

數學中，非交換調和分析將傅里葉分析的結果推廣到非交換拓撲群。由於局部緊阿貝爾群有很好理解的理論——龐特里亞金對偶性，其中包括傅里葉級數和傅里葉變換的基本結構，因此非交換調和分析的主要任務一般認為是將其推廣到所有局部緊群G。1920年代提出彼得-魏爾定理後，緊群情形被定性地理解為與有限群及其特徵標理論大致相似。

因此，有局部緊、非緊、非交換的群G的情形。有趣的例子如很多李群和P進數域上的代數群。這些例子在數學物理和當代數論（尤其是自守表示）中有廣泛應用。

約翰·馮·諾伊曼的基礎成果是眾所周知的，他指出，若G的馮諾依曼群代數屬於I型，則作為G的么正表示的$L^{2}(G)$是不可還原表示的直積分。因此，其參數是么正對偶，即此種表示的同構類集合，被賦予了殼-核拓撲（hull-kernel topology）。普朗歇爾定理的類似定理抽象地給出了么正對偶上的一個測度，即普朗歇爾測度，與之相關的是直積分（對於龐特里亞金對偶性而言，普朗歇爾測度是G的對偶群商的某個哈爾測度，因此唯一的問題是其歸一化（normalization））。對於一般的局部緊群，甚至可數離散群，馮諾依曼群代數不一定是I型的，G的正則表達（regular representation）不能寫成不可還原表示，即便它是么正、完全可約的。這種情況的例子是無限對稱群，當中馮諾依曼群代數是超無限型II₁因子。進一步的理論將普朗歇爾測度分為離散和連續兩部分。對於半單群與可解李群，有非常詳盡的理論。

另見

• 塞爾伯格跡公式
• 朗蘭茲綱領
• 軌跡法
• 離散級數表示
• 帶狀球面函數

參考文獻

• "Noncommutative harmonic analysis: in honor of Jacques Carmona", Jacques Carmona, Patrick Delorme, Michèle Vergne; Publisher Springer, 2004 ISBN 0-8176-3207-7
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.