数学上，二元关系（英语：Binary relation，或简称关系）用于讨论两种物件的连系。诸如算术中的“大于”及“等于”、几何学中的“相似”或集合论中的“为……之元素”、“为……之子集”。
设
为集合，
的任何子集称作
到
的二元关系，特别是当
时，称作 上的二元关系,一般记作
。若
, 是从 到 的二元关系；若
,那么 是 上的二元关系
或是以正式的逻辑符号表述为
![{\displaystyle (\forall r\in R)(\exists x)(\exists y)[\,r=(x,\,y)\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a36b7918d77c3b54e40faead98f77498a55d56)
例一：有四件物件 {球，糖，车，枪} 及四个人 {甲，乙，丙，丁} 。若甲拥有球、乙拥有糖、丙一无所有但丁拥有车，则“拥有”的二元关系可以写为
- = {(球，甲), (糖，乙), (车，丁)}
其中二元有序对的第一项是被拥有的物件，第二项是拥有者。
例二：实数系 
上的“大于关系”可定义为
![{\displaystyle >\,:=\{\,(a,\,b)\in {\mathbb {R} }^{2}\,|\,(\exists r\in \mathbb {R} )[\,(a=b+r)\wedge (r\neq 0)\,]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1d3570445d0d86b2ccac5c2699f1c8f9b081ff)
由于习惯上 
通常都是写为 
，更一般来说，不引起混淆的话会把 
简写成 
。
集合
与集合
上的二元关系则定义为 
，当中 
( 请参见笛卡儿积 ) ，称为 的图。若 
则称 
与 
有关系 ，并记作 或 
。
但经常地我们把关系与其图等价起来，即若 
则 是一个关系。
话虽如此，我们很多时候索性把集合间的关系 定义为 
而 “有序对 ” 即是 “ 
”。
设
及
， 是 和 上的关系，令
则0,1矩阵
称为 的关系矩阵，记作
。
设
， 是 上的关系，令图
，其中顶点集合
，边集合为
，且对于任意的
，满足
当且仅当
。则称图
是关系 的关系图，记作
。
关系的基本运算有以下几种：
- 设 为二元关系， 中所有有序对的第一元素构成的集合称为 的定义域，记作
。形式化表示为
![{\displaystyle {\mbox{dom}}(R)=\{\,x\,|\,(\exists y)[\,(x,y)\in R\,]\,\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1f9fa4029a638a643b8ac43748c763c0936634)
- 设 为二元关系， 中所有有序对的第二元素构成的集合称为 的值域，记作
。形式化表示为
![{\displaystyle {\mbox{ran}}(R)=\{\,y\,|\,(\exists x)[\,(x,y)\in R\,]\,\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb9a97218e58ee4031f801c1e2298ec5c7eb881)
- 设 为二元关系， 的定义域和值域的并集称作 的域，记作
，形式化表示为
- 设 为二元关系， 的逆关系，简称 的逆，记作
，其中
![{\displaystyle R^{-1}=\{\,p\,|\,(\exists x)(\exists y)[\,(x,y)\in R\wedge p=(y,x)\,]\,\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa2328c374a84878b5ffa46a0610843699133f0)
- 设
为二元关系， 与
的合成关系记作
，其中
- 设 为二元关系， 是一个集合。 在 上的限制记作
，其中
- 设 为二元关系， 是一个集合。 在 下的像记作
![{\displaystyle R[A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b35761daea1cbcd01a11d7433dbb61f93538dd9)
，其中
![{\displaystyle R[A]={\mbox{ran}}(R\upharpoonright A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a04fd65b154a6a2ccee07823a508a17ca43b92b)
- 设 为 上的二元关系，在右复合的基础上可以定义关系的幂运算：
关系的性质主要有以下五种：
- 自反性：
- 在集合X上的关系R，如对任意
，有
，则称R是自反的。
- 非自反性（自反性的否定的强型式）：
- 在集合X上的关系R，如对任意 ，有
，则称R是非自反的。
- 对称性：
- 在集合X上的关系R，如果有 且
必有
，则称R是对称的。
- 反对称性（不是对称性的否定）：
- 非对称性（对称性的否定的强型式）：
- 非对称性是 满足非自反性的反对称性。
- 传递性：
设 为集合 上的关系，下面给出 的五种性质成立的充要条件：
- 在 上自反，当且仅当
- 在 上非自反，当且仅当
- 在 上对称，当且仅当
- 在 上反对称，当且仅当
- 在 上非对称，当且仅当
- 在 上传递，当且仅当
