泊松二项分布

在概率论和统计学中，泊松二项分布是一个基于独立伯努利试验之和的离散概率分布。这一概念以西梅翁·德尼·泊松的名字命名。

泊松二项分布
Poisson binomial

参数	$n\in \mathbb {N}$（试验数） $\mathbf {p} \in [0,1]^{n}$（各试验的成功概率）
值域	k ∈ { 0, …, n }
概率质量函数	$\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$
累积分布函数	$\sum \limits _{l=0}^{k}\sum \limits _{A\in F_{l}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$
期望	$\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}$
方差	$\sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}$
偏度	${\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-2p_{i})(1-p_{i})p_{i}$
峰度	${\frac {1}{\sigma ^{4}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-6(1-p_{i})p_{i})(1-p_{i})p_{i}$
矩生成函数	$\prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{t})$
特征函数	$\prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{it})$
概率母函数	$\prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}z)$

换句话说，它是成功概率分别为$p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$的n次独立伯努利试验中，成功次数的概率分布。普通二项分布是泊松二项分布在所有成功概率相同（即$p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}$）时的特例。

定义

概率质量函数

n次试验中有k次成功的概率可以写为以下总和

$\Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$

其中$F_{k}$是 {1,2,3,..., n } 的全体k元子集的集合。例如，如果n = 3，那么$F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}$。$A^{c}$是$A$的补集，也就是$A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\setminus A$。

$F_{k}$将包含$n!/((n-k)!k!)$个元素，因此上述总和在实务中是很难计算的，除非试验次数n很小（例如，如果n = 30，$F_{15}$包含超过10²⁰个元素）。然而，还有其他更有效的方法可以计算$\Pr(K=k)$。

只要成功概率都不等于 1，就可以使用递归公式计算出k次成功的概率：

$\Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=k-i)T(i)&k>0\\\end{cases}}$

其中

$T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.$

递归公式在数值上不稳定，在$n$约大于20时应避免使用。另一种方法是使用分治算法：假设$n=2^{b}$是2的幂，并以$f(p_{i:j})$表示成功概率为$p_{i},\dots ,p_{j}$的泊松二项分布，$*$表示卷积，则$f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})$。

另一种可能性是使用离散傅立叶变换。

$\Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{l=0}^{n}C^{-lk}\prod \limits _{m=1}^{n}\left(1+(C^{l}-1)p_{m}\right)$

其中$C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)$，$i={\sqrt {-1}}$。

Chen和Liu在“泊松二项式和条件伯努利分布的统计应用”中描述了其他方法。

特性

均值和方差

由于泊松二项式分布变数是n个独立伯努利分布变数的总和，因此其均值和方差将是n个伯努利分布的均值和方差之和：

$\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}$

$\sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}$

当平均值（$\mu$）和次数（n）为定值，且所有成功概率相等时，我们会得到二项式分布，方差此时最大。当平均值固定时，方差的上界为具有相同均值的泊松分布的方差，该上界在n趋于无穷大时可以渐近取得。

熵

泊松二项式分布的熵没有简单的公式，但熵的上限是具有相同数字参数和相同均值的二项式分布的熵。因此，熵也不大于相同均值的泊松分布的熵。

谢普-奥尔金凹性猜想由劳伦斯·谢普和英格拉姆·奥尔金于1981年提出，指出泊松二项式分布的熵是成功概率$p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$的凹函数。这个猜想由 Erwan Hillion 和 Oliver Johnson 于2015年证明。1981年同一篇论文亦提出谢普-奥尔金单调性猜想：若$p_{i}\leq 1/2$，则熵对$p_{i}$为单调递增。这个猜想也被 Hillion 和 Johnson 于 2019 年证明。