吕利耶定理

球面三角学中，球面三角形的边长与面积的关系由吕利耶定理给出。这是海伦公式向非欧几何的推广。

球面三角形

在半径为$R$的球面上的球面三角形$\triangle ABC$，其三边$BC,CA,AB$的边长（以三边与球心所成角度表示）为$a,b,c$，半周长为$p={1 \over 2}(a+b+c)$。吕利耶定理给出它在球面上的面积：

$S=4R^{2}\arctan \left({\sqrt {\tan {p \over 2}\tan {\frac {p-a}{2}}\tan {\frac {p-b}{2}}\tan {\frac {p-c}{2}}}}\right)$。

当球面曲率足够小，球面近似于平面，从以上公式可得出海伦公式为其极限情形。事实上，当$R$比$AB,BC,CA$大的多，使得$a,b,c<\!\!<1$，可作近似估算

$\tan x\approx \arctan x\approx x$，

代入上式便得出海伦公式。